Tingnan ang wikitext ng Teorema ni Pitagoras

[[Talaksan:Pythagorean.svg|thumb|260x260px|'''Teorema ni Pitagoras'''Magkatumbas ang kabuuan ng sukat ng dalawang parisukat sa mga paa (''a'' at ''b'') sa sukat ng parisukat ng gilis (''c'').]]
{{General geometry|concepts}}Sa sipnayan, ang '''teorema ni Pitagoras''' ({{lang-es|teorema de Pitágoras}}, {{lang-en|Pythagorean theorem}}) ay isang pangunahing relasyon sa [[heometriyang Euclidean|heometriyang Euclidyana]] ng tatlong gilid ng isang tatsulok na may [[tamang anggulo|sihang tadlong]]. Sinasabi nito na ang parirami ng [[hypotenuse|gilis]] (ang gilid katapat ng [[tamang anggulo|sihang tadlong]]) ay katumbas ng kabuuan ng parirami ng [[Cathetus|natitirang dalawang gilid]]. Maaaring sulatin ang [[Theorem|teorema]] bilang isang [[Equation|ekwasyon]] na nag-uugnay ng mga haba ng gilid na nag-uugnay ng mga haba ng panig na ''a'', ''b'' and ''c'' na kadalasang tinatawag na "Ekwasyong Pitagoriko":<ref name="Sally0">{{cite book|title=Roots to research: a vertical development of mathematical problems|author1=Judith D. Sally|author2=Paul Sally|page=63|chapter=Chapter 3: Pythagorean triples|url=https://books.google.com/books?id=nHxBw-WlECUC&pg=PA63|isbn=0-8218-4403-2|year=2007|publisher=American Mathematical Society Bookstore}}</ref><blockquote><math>a^2 + b^2 = c^2 ,</math></blockquote>kung saan kumakatwan ang "c" sa haba ng gils at ang "a" at "b" sa mga haba ng natitirang dalawang gilid.

Kahit madalas na pinagtatalunan na may kaalaman na sa teorema bago si Pitagoras,<ref name="Pos2">Posamentier, Alfred. ''[https://books.google.com/books?id=fHFuCkSrfysC&pg=PA23 The Pythagorean Theorem: The Story of Its Power and Beauty]'', p. 23 (Prometheus Books 2010).</ref><ref>{{cite web|url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Babylonian_Pythagoras.html|title=Pythagoras's theorem in Babylonian mathematics|last=O'Connor|first=J J|last2=Robertson|first2=E F|date=December 2000|website=School of Mathematics and Statistics|publisher=University of St. Andrews, Scotland|access-date=25 January 2017|quote=In this article we examine four Babylonian tablets which all have some connection with Pythagoras's theorem. Certainly the Babylonians were familiar with Pythagoras's theorem.}}</ref> ipinangalan ang teorema kay [[Pythagoras|Pitagoras]] (s. 570–495 BK), isang dalubbilang sa [[Ancient Greece|sinaunang Gresya]], dahil siya, ayon sa tradisyon, ang ipinalagay na may pinakaunang [[Mathematical proof|patibay]], ngunit wala itong ebidensya.<ref name="Allman2">{{cite book|title=Greek Geometry from Thales to Euclid|author=George Johnston Allman|page=26|url=https://books.google.com/?id=-gYCAAAAYAAJ&pg=PA26|publisher=Hodges, Figgis, & Co|year=1889|quote=The discovery of the law of three squares, commonly called the "theorem of Pythagoras" is attributed to him by –&nbsp;amongst others&nbsp;– Vitruvius, Diogenes Laertius, Proclus, and Plutarch&nbsp;...|edition=Reprinted by Kessinger Publishing LLC 2005|isbn=1-4326-0662-X}}</ref><ref name="heath144">{{harv|Heath|1921|loc=Vol I, p. 144}}: "Though this is the proposition universally associated by tradition with the name of Pythagoras, no really trustworthy evidence exists that it was actually discovered by him. The comparatively late writers who attribute it to him add the story that he sacrificed an ox to celebrate his discovery."</ref><ref>According to {{harvnb|Heath|1921|loc=Vol I, p. 147}}, Vitruvius says that Pythagoras first discovered the triangle (3,4,5); the fact that the latter is right-angled led to the theorem.</ref> May kaunting ebidensya na naintindihan ng mga [[Babylonian mathematics|Babilonyang dalubbilang]] ang pormula, ngunit halos walang nagpapahiwatig ng paggamit sa isang balangkas-sipnayan.<ref name="Neugebauer">{{harvnb|Neugebauer|1969|p=36}}. For a different view, see {{cite book|author=Dick Teresi|page=52|title=Lost Discoveries: The Ancient Roots of Modern Science|url=https://books.google.com/?id=pheL_ubbXD0C&pg=PA52|isbn=0-7432-4379-X|year=2003|publisher=Simon and Schuster}}, where the speculation is made that the first column of [[Plimpton 322|tablet 322 in the Plimpton collection]] supports a Babylonian knowledge of some elements of trigonometry. That notion is pretty much laid to rest, however, by {{cite journal|author=Eleanor Robson|title=Words and Pictures: New Light on Plimpton 322|year=2002|doi=10.2307/2695324|jstor=2695324|journal=The American Mathematical Monthly|volume=109|issue=2|pages=105–120|publisher=Mathematical Association of America|ref=harv}} ([http://www.dma.ulpgc.es/profesores/pacheco/Robson.pdf pdf file]). The generally accepted view today is that the Babylonians had no awareness of trigonometric functions. See also {{cite arXiv|title=The Plimpton 322 Tablet and the Babylonian Method of Generating Pythagorean Triples|author=Abdulrahman A. Abdulaziz|year=2010|eprint=1004.0025|ref=harv|class=math.HO}} §2, p. 7.</ref><ref name="Livio">{{cite book|title=The golden ratio: the story of phi, the world's most astonishing number|author=Mario Livio|page=25|url=https://books.google.com/?id=bUARfgWRH14C&pg=PA25|isbn=0-7679-0816-3|publisher=Random House, Inc|year=2003}}</ref> Nadiskubre nang magkahiwalay ng mga [[Mesopotamia|Mesopotamyang]], [[Indian mathematics|Indiyanong]] and [[Chinese mathematics|Tsinong dalubbilang]], at, sa mga ibang pagkakataon, ay nagbigay ng patibay para sa mga kasong espesyal. 

Nabigyan ang teorema ng mararaming patibay, marahil na ang pinakamarami para sa anumang teoremang matematiko. Iba't iba ang mga ito, kabilang ang heometrikong patibay at alhebraikong patibay, ilan na pinetsahang libu-libong taon na ang nakalilipas. Maaaring heneralisahin ang teorema sa iba't ibang paraan, kasama na ang mga espasyo na may mas mataas na sukod, mga espasyong di-Euclidyano, sa mga bagay na hindi tatsihang tadlong, at sa katunayan, sa mga bagay na hindi tatsulok talaga, pero mga solido na may ''n'' na sukod. Nakaakit ang teoremang Pitagoras ng interes sa labas ng sipnayan bilang simbolo ng sipnayaning kalabuan, kahiwagaan, o kapangyarihang intelektuwal; managana ang mga pagtukoy nito sa panitikan, mga dula, mga musikal, mga kanta, mga selyo, at guhit-larawan.

== Patibay ng pag-iibang-ayos ==
[[Talaksan:Pythagoras-proof-anim.svg|thumb|Ang patibay ng pag-iibang-ayos (i-click para makita ang animasyon)]]
Naglalaman ang dalawang malaking parisukat na ipinapakita sa pigura ng tig-apat na magkakaparehong tatsulok, at ang pagkakaiba lamang ng dalawang malaking parisukat ay magkaiba ang pagsasaayos ng mga tatsulok. Samakatuwid, magkatumbas dapat ang sukat ng mga puting puwang sa loob ng dalawang parisukat. Nagbubunga ang pag-ekweyt ng sukat ng puting puwang ng teorema ni Pitagoras, [[Q.E.D.]]<ref>Benson, Donald. ''[https://books.google.com/books?id=8_vbuzxrpfIC&pg=PA172 The Moment of Proof : Mathematical Epiphanies]'', pp. 172–173 (Oxford University Press, 1999).</ref>

Ibinibigay ni Heath ang patibay na ito sa kanyang komentaryo sa Proposition I.47 sa Mga Elemento ni Euclid, at ibinabangit ang mga panukala ni Bretschneider at Hankel na posibleng naunawaan ni Pitagoras ang patibay na ito. Mas gusto ni Heath mismo ang ibang panukala para sa Pitagorikong katibayan, pero inaamin sa umpisa pa lamang ng pagtatalakay na "Hindi naglalaman ang Griyegong panitikan na inaarian natin na nagmumula sa unang limang siglo pagkatapos ni Pitagoras ng pahayag na nagbabanggit dito o anumang dakilang heometrikong pagkatuklas mula sa kanya."<ref>{{harvtxt|Euclid|1956}}, pp. 351–352</ref> Lumalaki ang pagdududa ng kamakailang iskolarsip sa anumang papel ni Pitagoras bilang manlilikha ng sipnayan, ngunit tuloy pa rin ang pakikipagtalo tungkol dito.<ref>{{cite encyclopedia|last=Huffman|first=Carl|title=Pythagoras|encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2018 Edition)|editor-last=Zalta|editor-first=Edward N.|editor-link=Edward N. Zalta|url=https://plato.stanford.edu/archives/win2018/entries/pythagoras/}}, "It should now be clear that decisions about sources are crucial in addressing the question of whether Pythagoras was a mathematician and scientist. The view of Pythagoras’ cosmos sketched in the first five paragraphs of this section, according to which he was neither a mathematician nor a scientist, remains the consensus."</ref>

== Iba pang anyo ng teorema ==
Kapag tumutukoy ang ''c'' sa [[Length|haba]] ng gilis at tumutukoy ang ''a'' at ''b'' sa haba ng dalawa pang panig, maaaring ipahayag ang teorema ni Pitagoras bilang ang ekwasyong Pitagoriko:

: <math>a^2 + b^2 = c^2 .</math>

Kapag alam ang haba ng ''a'' at ''b'', maaaring ikalkula ang ''c'' bilang

: <math> c = \sqrt{a^2 + b^2}. </math>

Kapag alam ang gilis ng ''c'' at ng isang panig (''a'' o ''b''), maaaring ikalkula ang haba ng isa pang panig bilang

: <math>a = \sqrt{c^2 - b^2} </math>

o

: <math>b = \sqrt{c^2 - a^2}. </math>

Iniuugnay ng ekwasyong Pitagoriko ang mga panig ng sihang tadlong sa simpleng paraan, kaya kung alam ang haba ng anumang dalawang panig, maaaring hanapin ang haba ng ikatlong panig. Isa pang koralariya ng teorema ay sa anumang sihang tadlong, mas malaki ang gilis kaysa sa isa sa mga iba pang panig, pero mas maliit kaysa sa kanilang kabuuan.

Isang heneralisasyon ng teoremang ito ang [[Law of cosines|batas ng kasinway]] na nagpapahintulot ng komputasyon ng haba ng anumang panig ng anumang tatsulok, basta nandoon ang haba ng dalawa pang panig at ang anggulo sa gitna nila. Kapag sihang tadlong ang anggulo sa gitna ng iba pang panig, pumapayak ang batas ng kasinway para maging ekwasyong Pitagoriko.

== Mga iba pang katibayan ng teorema ==
Posible na ang teoremang ito ay mas maraming kilalang katibayan kaysa sa iba (ang batas ng [[Quadratic reciprocity|dawaking resiprosidad]] ay isa pang kalaban para sa karangalan); naglalaman ang aklat na ''The Pythagorean Proposition'' ng 370 katibayan.<ref>{{Harv|Loomis|1968}}</ref>

=== Katibayan gamit ang magkahawig na tatsulok ===
[[Talaksan:Pythagoras_similar_triangles_simplified.svg|thumb|Proof using similar triangles]]
Nakabatay ang pruwebang ito sa [[Proportionality (mathematics)|pagkaproporsyonado]] ng mga panig ng dalawang [[Similarity (geometry)|magkahawig]] na tatsulok, iyon ay, magkatumbas ang [[ratio]] ng anumang dalawang naaayong panig ng magkahawig na tatsulok anuman ang laki ng mga tatsulok.

Ipalagay na kumakatawan ang ''ABC'' sa tatsihang tadlong kung saan matatagpuan ang sihang tadlong sa ''C'', tulad ng ipinapakita sa larawan. Ilarawan ang [[Altitude (triangle)|tayog]] mula sa punto ''C'', at tawagin ang ''H'' bilang kanyang sagandaan kasama ang panig ''AB''. Hinahati ng punto ''H'' ang haba ng gilis ''c'' sa mga bahaging ''d'' at ''e''. [[Similarity (geometry)|Magkahawig]] ang bagong tatsulok ''ACH'' sa tatsulok ''ABC'', dahil may mga sihang tadlong sila (ayon sa kahulugan ng tayog), and nakikibahagi sila ng anggulo sa ''A'', ibig sabihin na parehas din ang ikatlong anggulo sa dalawang tatsulok na iminamarka ng ''θ'' sa pigura. Sa katulad na pangangatuwiran, magkahawig din ang tatsulok ''CBH'' sa ''ABC''. Kinakailangan ng katibayan ng pagkakahawig ng tatsulok ang [[Triangle postulate|saligang tatsulok]]: ang kabuuan ng mga anggulo sa isang tatsulok ay dalawang sihang tadlong, at magkatumbas ito sa [[Parallel postulate|saligang agapay]]. Humahantong ang pagkakahawig ng mga tatsulok sa katumbasan ng mga ratio ng mga naaayon na panig:

: <math> \frac{BC}{AB}=\frac{BH}{BC} \text{ at } \frac{AC}{AB}=\frac{AH}{AC}.</math>

Pinapatumbas ng unang resulta ang [[Cosine|kasinway]] ng mga anggulong ''θ'', samantalang pinapatumbas ng ikalawang resulta ang kanilang [[Sine|sinway]].

Maaaring isulat ang mga ratio bilang<blockquote><math> BC^2 = AB \times BH \text{ at } AC^2=AB \times AH.</math></blockquote>Nagreresulta ang pagdaragdag ng dalawang katumbasang ito sa<blockquote><math> BC^2+AC^2=AB\times BH+AB\times AH=AB\times(AH+BH)=AB^2 ,</math></blockquote>na, pagkatapos ng pagpapayak, ay ipinapahayag ang teorema ni Pitagoras:<blockquote><math> BC^2+AC^2=AB^2 \ .</math></blockquote>

=== Katibayan ni Euclid ===
[[Talaksan:Illustration_to_Euclid's_proof_of_the_Pythagorean_theorem.svg|thumb|Katibayan sa ''Mga Elemento'' ni Euclid]]
Sa isang balangkas, narito kung paano ang pruweba sa ''[[Euclid's Elements|Mga Elemento]]'' ni Euclid. Hinahati ang malaking parisukat sa isang kaliwa at isang kanang parisukat. Nabubuo ang isang tatsulok na may kalahating dawak ng kaliwang parihaba. Pagkatapos, may nabubuong tatsulok na may kalahating dawak ng parisukat sa kaliwang banda. Ipinapakita na [[Congruence (geometry)|magkalapat]] ang dalawang tatsulok na nagpapatunay na parehas ang dawak ng parisukat sa dawak ng kaliwang parihaba.Sumusunod sa argumentong ito ang isang magkatulad na bersyon para sa kanang parihaba at sa natitirang parisukat. Kapag isinama ang dalawang parihaba para ibuo muli ang parisukat sa gilis, parehas ang kanyang dawak sa kabuuan ng dawak ng dalawa pang parisukat. Sumusunod ang mga detalye.

Ipalagay na ''A'', ''B'', ''C'' ang mga [[Vertex (geometry)|bagtasan]] ng sihang tadlong na may sihang tadlong sa ''A''. Maglagay ng perpendikular mula ''A'' hanggang sa panig katapat ng gilis sa parisukat sa gilis. Ang linyang iyon ay naghahati sa parisukat sa gilis para maging dalawang parihaba, bawat isa na may parehong dawak sa isa sa mga dalawang parisukat sa paa.

Para sa pormal na katibayan, kailangan ng apat na elementaryang [[Lemma (mathematics)|lemma]]:

# Kapag ang dalawang tatsulok ay may dalawang panig ng isang tatsulok na magkatumbas sa dalawang panig ng isa pang tatsulok, bawat isa, at magkatumbas ang mga anggulo na isinama ng mga panig na iyon, magkalapat ang mga tatsulok ([[Side angle side|panig-anggulo-panig]]).
# Ang dawak ng isang tatsulok ay kalahati ng dawak ng anumang paralelogram na nasa parehas na base at magkapareho ang tayog.
# Ang dawak ng parihaba ay magkatumbas sa produkto ng dalawang magkatabing panig.
# Ang dawak ng isang parisukat ay magkatumbas sa produkto ng kanyang dalawang panig (sumusunod mula sa 3).
{{short description|Equation relating the side lengths of a right triangle}}

== Talasanggunian ==