Tingnan ang wikitext ng Integrasyon sa pagpapaliit

Ang '''Integrasyon sa pagpapaliit'''(''Integration by reduction formula'') ay isang paraan para mahanap ang integral ng isang [[punsiyon]].  Ang paraang ito ang isa sa pinakaunang paraan ng [[integrasyon]] sa buong mundo. 
==Paraan==
Ang pagpapaliit na pormula ay maaaring matamo gamit ang anumang karaniwang paraan ng integrasyon gaya ng [[Integrasyon sa substitusyon]],
[[Integrasyon ng mga bahagi]], [[Trigonometrikong substitusyon]], [[Integrasyon gamit ang parsiyal na praksiyon]] at iba pa. Ang ideya ay ihayag ang integral na kinasasangkutan ng isang [[kapangyarihan (matematika)|kapangyarihan]] ng isang punsiyon na kumakatawan sa I<sub>n</sub> sa mga termino ng integral na kinasasangkutan ng mas mababang kapangyarihan ng punsiyong ito, halimbawa ang example I<sub>n-2</sub>. Sa paraaang ito, ang pagpapaliit na pormula ay nagiging [[ugnayang rekursibo]]. Sa ibang salita, ang pagpapaliit na pormula ay inihahayag ang ang integral na <math>I_n = \int f(x,n)\,dx </math> sa mga termino ng <math>I_k = \int f(x,k)\,dx </math>, kung saan ang  <math>k < n</math>. Upang kwentahin ang integral, ang n ay papalitan ng halaga nito at gagamitin ang pagpapaliit na pormula ng paulit ulit hanggang maabot ang punto kung saan ang punsiyon na iintegraduhin(integrate) ay maaaring kwentahin na karawniwan kung ito ay kapangyarihan ng 0 o 1. Tapos ihahalili ang resulta ng paurong hanggang sa makwenta ang  I<sub>n</sub>.

==Halimbawa==
[[Image:Cos to the n.png|thumb|<math>\int \cos^n (x) \, dx\!</math><br />n = 1..30]]

Magtakda ng pagpapaliit na pormula na maaaring gamitin upang mahanap ang <math>\int \cos^n (x) \, dx\!</math>. Samakatuwid, hanapin ang <math>\int \cos^5 (x) \, dx\!</math>.

:<math>I_n \, = \int \cos^n (x) \, dx\!</math>

::<math>= \int \cos^ {n-1} (x) \cos (x) \, dx\!</math>

::<math>= \int \cos^{n-1} (x) \, d(\sin (x)) \!</math>

::<math>= \cos^{n-1} (x) \sin (x)\ - \int \sin (x) \, d(\cos^{n-1} (x))\!</math>

::<math>= \cos^{n-1} (x) \sin (x)\ + (n-1)\int \sin (x) \cos^{n-2} (x)\sin(x)\, dx\!</math>

::<math>= \cos^{n-1} (x) \sin (x)\ + (n-1)\int \cos^{n-2} (x)\sin^2 (x)\, dx\!</math>

::<math>= \cos^{n-1} (x) \sin (x)\ + (n-1)\int \cos^{n-2} (x)(1-\cos^2 (x))\, dx\!</math>

::<math>= \cos^{n-1} (x) \sin (x)\ + (n-1)\int \cos^{n-2} (x)\, dx\ - (n-1)\int \cos^n (x)\, dx\!</math>

::<math>= \cos^{n-1} (x) \sin (x)\ + (n-1) I_{n-2}\ - (n-1) I_n\,</math>

:<math>I_n \ + (n-1) I_n\ = \cos^{n-1} (x) \sin (x)\ + \ (n-1) I_{n-2} \,</math>

:<math>n I_n\ = \cos^{n-1} (x) \sin (x)\ + (n-1) I_{n-2}\,</math>

:<math>I_n \ = \frac{1}{n}\cos^{n-1} (x) \sin (x)\ + \frac{n-1}{n} I_{n-2} \,</math>

Ang pagpapaliit na pormula:
:<math>\int \cos^n (x) \, dx\ = \frac{1}{n}\cos^{n-1} (x) \sin (x)\ + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} (x) \, dx\!</math>

Upang mahanap ang <math>\int \cos^5 (x) \, dx\!</math>:
:<math>n=5\,</math>: <math>I_5\ = \tfrac{1}{5} \cos^4 (x) \sin (x)\ + \tfrac{4}{5} I_3\,</math>
:<math>n=3\,</math>: <math>I_3\ = \tfrac{1}{3} \cos^2 (x) \sin (x)\ + \tfrac{2}{3} I_1\,</math>

:<math>\because I_1\ = \int \cos (x) \, dx\ = \sin (x)\ + C_1\,</math>

:<math>\therefore I_3\ = \tfrac{1}{3} \cos^2 (x) \sin (x)\ + \tfrac{2}{3}\sin(x)\ + C_2\,</math>，<math>C_2\ = \tfrac{2}{3} C_1\,</math>

:<math>I_5\ = \frac{1}{5} \cos^4 (x) \sin (x)\ + \frac{4}{5}\left[\frac{1}{3} \cos^2 (x) \sin (x) + \frac{2}{3} \sin (x)\right] + C\,</math>, where C is a constant.

==Mga tabla ng pagpapaliit na pormula== 
===Mga rasyonal na punsiyon===
Ang mga sumusunod na integral
<ref>http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> Indefinite Integrals List</ref> ay naglalaman ng:
*Mga paktor ng linyar ng radikal na <math>\sqrt{ax+b}\,\!</math>
*Mga linyar na paktor <math>{px+q}\,\!</math> at ang linyar na radikal na<math>\sqrt{ax+b}\,\!</math>
*Mga [[kwadritikong punsiyon|kwadratikong]] paktor na <math>x^2+a^2\,\!</math>
*Mga kwadratikong paktor na <math>x^2-a^2\,\!</math>, para sa <math>x>a\,\!</math>
*Mga kwadratikong paktor <math>a^2-x^2\,\!</math>, para sa <math>x<a\,\!</math>
*Hindi mapapaliit na mga kwadratikong paktor(Irreducible quadratic factors) na <math>ax^2+bx+c\,\!</math>
*Mga radikal ng hindi mapapaliit na mga kwadratikong paktor na <math>\sqrt{ax^2+bx+c}\,\!</math>

{| class="wikitable"
|-
! Integral!! Pagpapaliit na pormula
|-
| <math>I_n = \int \frac{x^n}{\sqrt{ax+b}} \mathrm{d}x\,\!</math> || <math>I_n = \frac{2x^n\sqrt{ax+b}}{a(2n+1)} - \frac{2nb}{a(2n+1)} I_{n-1}\,\!</math>
|-
| <math>I_n = \int \frac{\mathrm{d}x}{x^n\sqrt{ax+b}}\,\!</math> || <math>I_n = -\frac{\sqrt{ax+b}}{(n-1)bx^{n-1}}-\frac{a(2n-3)}{2b(n-1)}I_{n-1}\,\!</math>
|-
| <math>I_n = \int x^n\sqrt{ax+b}\mathrm{d}x\,\!</math> || <math>I_n = \frac{2x^n\sqrt{(ax+b)^3}}{a(2n+3)}-\frac{2nb}{a(2n+3)}I_{n-1}\,\!</math>
|-
| <math>I_n = \int \frac{\sqrt{ax+b}}{x^n}\mathrm{d}x\,\!</math> || <math>I_n = -\frac{\sqrt{ax+b}}{(n-1)x^{n-1}}+\frac{a}{2(n-1)}I_{n-1}\,\!</math>
|-
| <math>I_{n,m} = \int \frac{\mathrm{d}x}{(ax+b)^n(px+q)^m}\,\!</math> || <math>I_{n,m} = -\frac{1}{(n-1)(bp-aq)} \left [ \frac{1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}}+a(n+m-2)I_{m,n-1} \right ]\,\!</math>
|-
| <math>I_{n,m} = \int  \frac{(ax+b)^m}{(px+q)^n} \mathrm{d}x\,\!</math> || <math>I_{n,m} =
\begin{cases}
  -\frac{1}{(n-1)(bp-aq)}\left [ \frac{(ax+b)^{m+1}}{(px+q)^{n-1}}+a(n+m-2)I_{m-1,n-1} \right ]   \\
  -\frac{1}{(n-m-1)p}\left [ \frac{(ax+b)^m}{(px+q)^{n-1}}+m(bp-aq)I_{m-1,n} \right ]  \\
  -\frac{1}{(n-1)p}\left [ \frac{(ax+b)^m}{(px+q)^{n-1}}-amI_{m-1,n-1} \right ]
\end{cases}\,\!</math>
|}

{| class="wikitable"
|-
! Integral!! Pagpapaliit na pormula
|-
| <math>I_n=\int \frac{(px+q)^n}{\sqrt{ax+b}} \mathrm{d}x\,\!</math> || <math>\int (px+q)^n\sqrt{ax+b} \mathrm{d}x  = \frac{2(px+q)^{n+1}\sqrt{ax+b}}{p(2n+3)}+\frac{bp-aq}{p(2n+3)}I_n\,\!</math>

<math>I_n=\frac{2(px+q)^n\sqrt{ax+b}}{a(2n+1)}+\frac{2n(aq-bp)}{a(2n+1)}I_{n-1}\,\!</math>
|-
| <math>I_n=\int \frac{\mathrm{d}x}{(px+q)^n\sqrt{ax+b}}\,\!</math> || <math>\int \frac{\sqrt{ax+b}}{(px+q)^n}\mathrm{d}x = -\frac{\sqrt{ax+b}}{p(n-1)(px+q)^{n-1}}+\frac{a}{2p(n-1)}I_n\,\!</math>

<math>I_n= -\frac{\sqrt{ax+b}}{(n-1)(aq-bp)(px+q)^{n-1}}+\frac{a(2n-3)}{2(n-1)(aq-bp)}I_{n-1}\,\!</math>
|}

{| class="wikitable"
|-
! Integral!! Pagpapaliit na pormula
|-
| <math>I_n= \int \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+a^2)^n}\,\!</math> || <math>I_n= \frac{x}{2a^2(n-1)(x^2+a^2)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}I_{n-1}\,\!</math>
|-
| <math>I_{n,m}= \int \frac{\mathrm{d}x}{x^m(x^2+a^2)^n}\,\!</math> || <math>a^2I_{n,m}= I_{m,n-1}-I_{m-2,n}\,\!</math>
|-
| <math>I_{n,m}= \int \frac{x^m}{(x^2+a^2)^n} \mathrm{d}x\,\!</math> || <math>I_{n,m}= I_{m-2,n-1}-a^2I_{m-2,n}\,\!</math>
|}

{| class="wikitable"
|-
! Integral!!Pagpapaliit na pormula
|-
| <math>I_n= \int \frac{\mathrm{d}x}{(x^2-a^2)^n}\,\!</math> || <math>I_n= -\frac{x}{2a^2(n-1)(x^2-a^2)^{n-1}}-\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}I_{n-1}\,\!</math>
|-
| <math>I_{n,m}= \int \frac{\mathrm{d}x}{x^m(x^2-a^2)^n}\,\!</math> || <math>{a^2}I_{n,m}= I_{m-2,n}-I_{m,n-1}\,\!</math>
|-
| <math>I_{n,m}= \int \frac{x^m}{(x^2-a^2)^n} \mathrm{d}x\,\!</math> || <math>I_{n,m}= I_{m-2,n-1}+a^2I_{m-2,n}\,\!</math>
|}

{| class="wikitable"
|-
! Integral!! Pagpapaliit na pormula
|-
| <math>I_n= \int \frac{\mathrm{d}x}{(a^2-x^2)^n}\,\!</math> || <math>I_n= \frac{x}{2a^2(n-1)(a^2-x^2)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}I_{n-1}\,\!</math>
|-
| <math>I_{n,m}= \int \frac{\mathrm{d}x}{x^m(a^2-x^2)^n}\,\!</math>  || <math>{a^2}I_{n,m}= I_{m,n-1}+I_{m-2,n}\,\!</math>
|-
| <math>I_{n,m}= \int \frac{x^m}{(a^2-x^2)^n} \mathrm{d}x\,\!</math> || <math>I_{n,m}= a^2I_{m-2,n}-I_{m-2,n-1}\,\!</math>
|}

{| class="wikitable"
|-
! Integral!! Pagpapaliit na pormula
|-
| <math>I_n = \int \frac{\mathrm{d}x}{{x^n}(ax^2+bx+c)}\,\!</math> || <math>-cI_n =\frac{1}{x^{n-1}(n-1)}+ bI_{n-1}+aI_{n-2}\,\!</math>
|-
| <math>I_{m,n}=\int \frac{x^m \mathrm{d}x}{(ax^2+bx+c)^n}\,\!</math> || <math>I_{m,n}= -\frac{x^{m-1}}{a(2n-m-1)(ax^2+bx+c)^{n-1}} + \frac{c(m-1)}{a(2n-m-1)}I_{m-2,n}\,\!</math>
|-
| <math>I_{m,n}= \int \frac{\mathrm{d}x}{x^m(ax^2+bx+c)^n}\,\!</math> || <math>-c(m-1)I_{m,n}= \frac{1}{x^{m-1}(ax^2+bx+c)^{n-1}}+{a(m+2n-3)}I_{m-2,n}+{b(m+n-2)}I_{m-1,n}\,\!</math>
|-
|}

{| class="wikitable"
|-
! Integral!! Pagpapaliit na pormula
|-
| <math>I_n = \int (ax^2+bx+c)^n\mathrm{d}x\,\!</math> || <math>4a(n+1)I_{n+\frac{1}{2}} = 2(2ax+b)(ax^2+bx+c)^{n+\frac{1}{2}} + (2n+1)(4ac-b^2)I_{n-\frac{1}{2}}\,\!</math>
|-
| <math>I_n = \int \frac{1}{(ax^2+bx+c)^n}\mathrm{d}x\,\!</math> || <math>(2n-1)(4ac-b^2)I_{n+\frac{1}{2}} = \frac{2(2ax+b)}{(ax^2+bx+c)^{n-\frac{1}{2}}}+{8a(n-1)}I_{n-\frac{1}{2}}\,\!</math>
|-
|}

tandaan na sa batas ng mga indises(law of indices) ng [[eksponente]]:

<math>I_{n+\frac{1}{2}} =  I_{\frac{2n+1}{2}} =\int \frac{1}{(ax^2+bx+c)^{\frac{2n+1}{2}}}\mathrm{d}x = \int \frac{1}{\sqrt{(ax^2+bx+c)^{2n+1}}}\mathrm{d}x\,\!</math>

===Mga punsiyong transendental===
{{main|Trigonometriya}}

Ang mga sumusunod na integral <ref>http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> Indefinite Integrals List</ref> ay naglalaman ng:
*Mga paktor ng sine
*Mga paktor ng cosine
*Mga paktor ng produkto at kosiyente ng sine at cosine products 
*Produkto/kosiyente ng eksponesiyal na mga paktor at mga kapangyarihan ng ''x''
*Mga produkto ng ekponensiyal at sine/cosine na mga paktor
{| class="wikitable"
|-
! Integral!! Pagpapaliit na pormula
|-
| <math>I_n=\int x^n \sin{ax} \mathrm{d}x\,\!</math> || <math>a^2I_n=-ax^n \cos{ax} + nx^{n-1} \sin{ax} - n(n-1) I_{n-2} \,\!</math>
|-
| <math>J_n=\int x^n \cos{ax} \mathrm{d}x \,\!</math> || <math>a^2J_n=ax^n \sin{ax} + nx^{n-1} \cos{ax} - n(n-1) J_{n-2} \,\!</math>
|-
| <math> I_n = \int \frac{\sin{ax}}{x^n} \mathrm{d}x\,\!</math>

<math>J_n = \int \frac{\cos{ax}}{x^n} \mathrm{d}x \,\!</math>
|| <math>I_n = -\frac{\sin{ax}}{(n-1)x^{n-1}}+\frac{a}{n-1}J_{n-1}\,\!</math>

<math>J_n = -\frac{\cos{ax}}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}I_{n-1}\,\!</math>

Ang mga pormula ay maaaring pagsamahin upang makamit ang magkahiwalay na [[ekwasyon]] sa ''I<sub>n</sub>'':

<math>I_n = -\frac{\sin{ax}}{(n-1)x^{n-1}}+\frac{a}{n-1}J_{n-1} \,\!</math>

<math>J_{n-1} = -\frac{\cos{ax}}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}I_{n-2}\,\!</math>

<math>I_n = -\frac{\sin{ax}}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}\left [\frac{\cos{ax}}{(n-1)x^{n-1}}+\frac{a}{n-1}I_{n-2}\right ] \,\!</math>

<math> \therefore I_n = -\frac{\sin{ax}}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{(n-1)^2}\left (\frac{\cos{ax}}{x^{n-1}}+aI_{n-2}\right ) \,\!</math>

and ''J<sub>n</sub>'':

<math>I_{n-1} = -\frac{\sin{ax}}{(n-1)x^{n-1}}+\frac{a}{n-1}J_{n-2}\,\!</math>

<math>J_n = -\frac{\cos{ax}}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}I_{n-1}\,\!</math>

<math>J_n = -\frac{\cos{ax}}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}\left [-\frac{\sin{ax}}{(n-1)x^{n-1}}+\frac{a}{n-1}J_{n-2}  \right ]\,\!</math>

<math> \therefore J_n = -\frac{\cos{ax}}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{(n-1)^2}\left (-\frac{\sin{ax}}{x^{n-1}}+aJ_{n-2}  \right )\,\!</math>
|-
| <math>I_n = \int \sin^n{ax} \mathrm{d}x\,\!</math> || <math>anI_n = -\sin^{n-1}{ax}\cos{ax}+a(n-1)I_{n-2}\,\!</math>
|-
| <math>J_n = \int \cos^n{ax} \mathrm{d}x\,\!</math> || <math>anJ_n = \sin{ax}\cos^{n-1}{ax}+a(n-1)J_{n-2}\,\!</math>
|-
| <math>I_n = \int \frac{\mathrm{d}x}{\sin^n{ax}}\,\!</math> || <math>(n-1)I_n = - \frac{\cos{ax}}{a\sin^{n-1}{ax}}+ (n-2)I_{n-2}\,\!</math>
|-
| <math>J_n = \int \frac{\mathrm{d}x}{\cos^n{ax}}\,\!</math> || <math>(n-1)J_n = \frac{\sin{ax}}{a\cos^{n-1}{ax}}+ (n-2)I_{n-2}\,\!</math>
|-
|}

{| class="wikitable"
|-
! Integral!! Pagpapaliit na pormula
|-
| <math>I_{m,n} = \int \sin^m{ax}\cos^n{ax}\mathrm{d}x\,\!</math> || <math>I_{m,n} = \begin{cases}
    -\frac{\sin^{m-1}{ax}\cos^{n+1}{ax}}{a(m+n)}+\frac{m-1}{m+n}I_{m-2,n} \\
    \frac{\sin^{m+1}{ax}\cos^{n-1}{ax}}{a(m+n)}+\frac{n-1}{m+n}I_{m,n-2} \\
\end{cases}\,\!</math>
|-
| <math>I_{m,n} = \int \frac{\mathrm{d}x}{\sin^m{ax}\cos^n{ax}}\,\!</math> || <math>I_{m,n} = \begin{cases}
    \frac{1}{a(n-1)\sin^{m-1}{ax}\cos^{n-1}{ax}}+\frac{m+n-2}{n-1}I_{m,n-2} \\
    \frac{1}{a(m-1)\sin^{m-1}{ax}\cos^{n-1}{ax}}+\frac{m+n-2}{m-1}I_{m-2,n} \\
\end{cases}\,\!</math>
|-
| <math>I_{m,n} = \int \frac{\sin^m{ax}}{\cos^n{ax}}\mathrm{d}x\,\!</math> || <math>I_{m,n} = \begin{cases}
    \frac{\sin^{m-1}{ax}}{a(n-1)\cos^{n-1}{ax}}-\frac{m-1}{n-1}I_{m-2,n-2} \\
    \frac{\sin^{m+1}{ax}}{a(n-1)\cos^{n-1}{ax}}-\frac{m-n+2}{n-1}I_{m,n-2} \\
    \frac{\sin^{m-1}{ax}}{a(m-n)\cos^{n-1}{ax}}+\frac{m-1}{m-n}I_{m-2,n} \\
\end{cases}\,\!</math>
|-
| <math>I_{m,n} =  \int \frac{\cos^m{ax}}{\sin^n{ax}}\mathrm{d}x\,\!</math> || <math>I_{m,n} = \begin{cases}
    -\frac{\cos^{m-1}{ax}}{a(n-1)\sin^{n-1}{ax}}-\frac{m-1}{n-1}I_{m-2,n-2} \\
    -\frac{\cos^{m+1}{ax}}{a(n-1)\sin^{n-1}{ax}}-\frac{m-n+2}{n-1}I_{m,n-2} \\
    \frac{\cos^{m-1}{ax}}{a(m-n)\sin^{n-1}{ax}}+\frac{m-1}{m-n}I_{m-2,n} \\
\end{cases}\,\!</math>
|-
|}

{| class="wikitable"
|-
! Integral!! Pagpapaliit na pormula
|-
| <math>I_{n} = \int x^n e^{ax} \mathrm{d}x\,\!</math>

<math>n > 0\,\!</math>
|| <math> I_{n} = -\frac{x^n e^{ax}}{a} - \frac{n}{a}I_{n-1} \,\!</math>
|-
| <math>I_{n} = \int x^{-n} e^{ax} \mathrm{d}x\,\!</math>

<math>n > 0\,\!</math>

<math>n \neq 1\,\!</math>
|| <math> I_{n} = -\frac{- e^{ax}}{(n-1)x^{n-1}} - \frac{a}{n-1}I_{n-1} \,\!</math>
|-
| <math>I_{n} = \int x^{ax} \sin^n{bx} \mathrm{d}x\,\!</math>
|| <math> I_{n} = -\frac{x^{ax} \sin^{n-1}{bx}}{a^2+(bn)^2}\left ( a\sin bx - bn\cos bx \right ) + \frac{n(n-1)b^2}{a^2+(bn)^2}I_{n-2} \,\!</math>
|-
| <math>I_{n} = \int x^{ax} \cos^n{bx} \mathrm{d}x\,\!</math>
|| <math> I_{n} = -\frac{x^{ax} \cos^{n-1}{bx}}{a^2+(bn)^2}\left ( a\cos bx + bn\sin bx \right ) + \frac{n(n-1)b^2}{a^2+(bn)^2}I_{n-2} \,\!</math>
|-
|}

==Pagtatamo ng mga pangkalahatang integral==
Sa sumusunod, ang mga indises(indices) ay mga positibong mga [[intedyer]] na
<math> n,p,q \in \mathbf{N}\,\!</math>.

===Mga deribasyon===
Kung papansin, maraming mga pagpapaliit na pormula ng ''isang'' indeks na ''I''<sub>''n''</sub> (o hindi naglalaman ng dalawang indises kung saan ang ''I''<sub>''m,n''</sub>) ay maaaring isulat sa pangkalahatang anyo: 
<math>I_{n} = A + B I_{n-p} \,\!</math>

kung saan ang <math>I_{n-p}\,\!</math> ay kumakatawan sa paglipat(shift) ng mga integral na ''p'' ng paurong relatibo sa  <math>I_{n}\,\!</math>, at ang ''A'' at ''B'' ang mga tinipong mga dagdag na mga termino(hindi mga [[konstante]]), ang pangkalahatang pormula para sa mga integral na ito ay matatagpuan gamit ang paulit ulit na paghalali ng pagurong(backward subtitution):   
<math>I_{n} = A + B I_{n-p} \,\!</math>

<math>I_{n-p} = A + B I_{n-2p} \,\!</math>

<math>I_{n-2p} = A + B I_{n-3p} \,\!</math>

etc., so the general recurrence shift is:

<math>I_{n-qp} = A + B I_{n-(q-1)p} \,\!</math>

kung saan ang ''q'' ay isang multiple ng ''p''. Isagawa ang paurong na paghalili sa indeks na ''n'' - ''pq'', at maingat na palawgin ang mga [[braket]]:

<math>I_{n} = A + B \left ( A + B \left ( A + B \left ( \cdots A + q I_{n-pq} \cdots \right ) \right ) \right ) \,\!</math>

<math>I_{n} = A + \left ( AB + B^2 \left ( A + B \left ( \cdots A + q I_{n-pq} \cdots \right ) \right ) \right ) \,\!</math>

<math>I_{n} = A + \left ( AB + \left ( AB^2 + B^3 \left ( \cdots A + q I_{n-pq} \cdots \right ) \right ) \right ) \,\!</math>

<math>I_{n} = A + \left ( AB + \left ( AB^2 + \left ( \cdots AB^{q-1} + B^q I_{n-pq} \cdots \right ) \right ) \right ) \,\!</math>

<math>I_{n} = A + AB +  AB^2 + \cdots + AB^{q-1} + B^q I_{n-pq}  \,\!</math>

na nagreresulta ng:

:{|cellpadding="2" style="border:2px solid #ccccff"
|<math>I_{n} = A\sum_{i=0}^{q-1} B^i + B^q I_{n-pq}  \,\!</math>
|}

Ito ay maaaring gamitin upang makamit ang integral na kasing layo pabalik sa mga indises na ''pq'' relatibo sa ''n'', ngunit makakatulong kung babaguhin ang mga indises sa ''q'', depende sa piniling ''p'' (hindi mahalaga kung ang ''n'' o ''q'' ang indeks). Ang pagbabago ay isang simpleng paghalili:

Kung ang ''I''<sub>0</sub> ay alam, maaaring itakda ang <math> I_{n-pq} = I_{0} \,\!</math>, tapos ang <math> n-pq = 0 \,\!</math> upang ang <math> n = pq \,\!</math>

<math>I_{pq} = A\sum_{i=0}^{q-1} B^i + B^q I_{0}  \,\!</math>

Kung ang  ''I''<sub>0</sub> ay alam, maaaring itakda ang <math> I_{n-pq} = I_{1} \,\!</math>, tapos <math> n-pq = 1 \,\!</math> upang ang <math> n = pq + 1 \,\!</math>

<math>I_{pq + 1} = A\sum_{i=0}^{q-1} B^i + B^q I_{1}  \,\!</math>

Malimit, gaya ng makikita sa mga tabla sa taas ang ''p'' = 1 o ''p'' = 2, upang ang pagpapaliit na pormula ay maaring itakda gaya ng:

{| class="wikitable"
|-
|
|| For <math> p = 1  \,\!</math>
|| For <math> p = 2  \,\!</math>
|-
| <math> n=pq \,\!</math>
|| <math>I_{q} = A\sum_{i=0}^{q-1} B^i + B^q I_{0}  \,\!</math>
|| <math>I_{2q} = A\sum_{i=0}^{q-1} B^i + B^q I_{0}  \,\!</math>
|-
| <math> n = pq + 1 \,\!</math>
|| <math>I_{q + 1} = A\sum_{i=0}^{q-1} B^i + B^q I_{1}  \,\!</math>

(Isa lamang paglipat ng indeks).
|| <math>I_{2q + 1} = A\sum_{i=0}^{q-1} B^i + B^q I_{1}  \,\!</math>
|}

===Pagpapatunay===

Ang isang [[matematikal na indaksiyon|indaktibong pagpapatunay]] ay magpapakita na ang pangkahalatang pormula na  <math>I_{n} = A\sum_{i=0}^{q-1} B^i + B^q I_{n-pq}  \,\!</math> upang maging totoo ang <math> \forall n \in \mathbf{N} \,\!</math>. Ang pagpapatunay ay maaaring hatiin sa dalawa sa katulad na paraan sa itaas:

'''Kasong 1''': one for <math> I_{n-pq} = I_{0} \,\!</math> so <math>I_{pq} = A\sum_{i=0}^{q-1} B^i + B^q I_{0} \,\!</math>

'''Kasong 2''': one for <math> I_{n-pq} = I_{1} \,\!</math> so <math>I_{pq + 1} = A\sum_{i=0}^{q-1} B^i + B^q I_{1} \,\!</math>

Sa kasong 2, ang paglipat ng indeks ay  +1, upang ang pagpapatunay maging katulad sa kasong 1. Ang kasong 1 lamang ang pinatunayan sa ibaba:

''Kasong 1''':

Maaaring mahanap na ang:

<math>I_{pq} = A\sum_{i=0}^{q-1} B^i + B^q I_{0} \,\!</math>

ay totoo para sa ''q'' = 1;

<math>I_{p} = A\sum_{i=0}^{0} B^i + B I_{0} \,\!</math>

<math>I_{p} = A B^0 + B I_{0} \,\!</math>

<math>I_{p} = A + B I_{0} \,\!</math>

Ngayon ipagpapalagay na:

<math>I_{pq} = A\sum_{i=0}^{q-1} B^i + B^q I_{0} \,\!</math>

ay totoo para sa isang  ''q'' > 1, tapos ipakita ang pormula ay totoo para sa ''q'' + 1:

<math>I_{p(q+1)} = A\sum_{i=0}^{q} B^i + B^{q+1} I_{0} \,\!</math>

<math>I_{p(q+1)} = A\left ( \sum_{i=0}^{q-1} B^i + B^q \right ) + B^q B I_{0} \,\!</math>

<math>I_{p(q+1)} = A\sum_{i=0}^{q-1} B^i + AB^q + B^q B I_{0} \,\!</math>

<math>I_{p(q+1)} = A\sum_{i=0}^{q-1} B^i + B^q \left ( A + BI_{0} \right ) \,\!</math>

<math>I_{p(q+1)} = A\sum_{i=0}^{q-1} B^i + B^q I_{p} \,\!</math>

<math>I_{pq+p} = A\sum_{i=0}^{q-1} B^i + B^q I_{p} \,\!</math>

na umaayon sa paglipat ng indeks mula  ''I''<sub>0</sub> patungo sa ''I''<sub>''p''</sub> at ''I''<sub>''pq''</sub> patungo ''I''<sub>''pq+p''</sub> sa +p. Kaya ang pormula ay tototoo <math>\forall q \geqslant 1 \,\!</math>.
==Sanggunian==
{{reflist}}

[[Kategorya:calculus]]