Tingnan ang wikitext ng Baskagan (matematika)

[[Talaksan:Matrix.svg|link=https://tl.wikipedia.org/wiki/Talaksan:Matrix.svg|right|thumb|247x247px|<span data-segmentid="4" class="cx-segment">Pahalang ang mga ''m'' na hilera at patayo ang mga ''n'' na tudling.</span> <span data-segmentid="5" class="cx-segment">Kadalasang ipinapakita ang bawat elemento ng isang baskagan ng isang</span> <span data-segmentid="4" class="cx-segment">aligin</span> <span data-segmentid="5" class="cx-segment">na may dalawang [[Index notation|suskrito]].</span>  <span data-segmentid="7" class="cx-segment">Halimbawa, kumakatawan ang ''a''<sub>2,1</sub> sa elemento sa ikalawang hilera at unang tudling ng baskagang '''A.'''</span>]]
<span data-segmentid="8" class="cx-segment">Sa [[matematika]], ang '''baskagan''' (Ingles: ''matrix'') ay isang [[Parihaba|hugis-parihaba na]] [[wiktionary:array|taltag]]<ref>Katumbas, ''[[wiktionary:table|talahanayan]]'' .</ref> ng mga [[bilang]], mga [[Symbol (formal)|simbolo]], o mga [[Expression (mathematics)|ekspresyon]], na nakaayos sa mga ''[[wiktionary:row|hilera]]'' at ''[[wiktionary:column|tudling]]''.<ref>{{harvtxt|Anton|1987|p=23}}</ref><ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=56}}</ref></span> <span data-segmentid="14" class="cx-segment">Halimbawa, ang sukat ng baskagan sa ibaba ay 2 × 3 (binabasa na "dalawa sa tatlo"), dahil may dalawang hanay at tatlong tudling:</span> 

<math>\begin{bmatrix}
1 & 9 & -13 \\ 
20 & 5 & -6 
\end{bmatrix}.</math>

<span data-segmentid="17" class="cx-segment">Basta mayroon silang parehong sukat (katumbas ang bilang ng mga hilera at ang parehong bilang ng mga tudling ng bawat baskagan), maaaring [[Matrix addition|idagdag]] o ibawas ang bawat elemento ng dalawang baskagan (tingnan ang [[Conformable matrix|Talimahing baskagan]]).</span> <span data-segmentid="20" class="cx-segment">Gayunpaman, ang panuntunan ng [[Matrix multiplication|multiplikasyon ng baskagan]] ay ang ''dalawang baskagan ay maaaring multiplikahin lamang kapag katumbas ang bilang ng mga tudling sa unang baskagan sa bilang ng mga hilera sa ikalawa'' (ibig sabihin: pareho ang mga panloob na sukat, '''''n''''' para sa isang baskagang (''m''×'''''n''''') na pinarami ng isang baskagang ('''''n'''''×''p''), na nagreresulta sa isang baskagang (''m''×''p'').</span> <span data-segmentid="22" class="cx-segment">Walang produkto kapag binaligtad ang mga baskagan, na unang nagpapahiwatig na hindi [[Commutativity|napagpabaling-baling]] ang multiplikasyon ng baskagan.</span> <span data-segmentid="24" class="cx-segment">Maaaring [[Matrix multiplication#Scalar multiplication|multiplikahin]] ang anumang baskagan ayon sa elemento ng isang [[Scalar (mathematics)|bilangin]] mula sa nauugnay na [[Field (mathematics)|patlang]].</span> 

<span data-segmentid="28" class="cx-segment">Ang indibidwal na mga aytem sa isang baskagang '''A''' na ''m''×''n'', kadalasang itinala gamit ang ''a<sub>i</sub>''<sub>,''j''</sub>, kung saan karaniwang nag-iiba ang ''i'' at ''j'' mula sa 1 hanggang ''m'' at ''n'', ayon sa pagkakabanggit, ay tinatawag na mga ''elemento'' o mga ''tala'' nito.<ref>{{Cite book|last1=Young|first1=Cynthia|title=Precalculus|publisher=Laurie Rosatone|page=727}}</ref></span> <span data-segmentid="29" class="cx-segment">Para sa madaling pagpapahayag ng isang elemento ng mga resulta ng mga sakilos ng baskagan kadalasang nakalakip ang mga indeks ng elemento sa napanaklong o natungang ekspresyon ng baskagan; halimbawa: tumutukoy ang ('''AB''')<sub>i, j</sub> sa isang elemento ng produkto ng baskagan.</span> <span data-segmentid="30" class="cx-segment">Sa konteksto ng [[Abstract index notation|abstraktong notasyon ng indeks]] hindi tiyak na tumutukoy din ito sa buong produkto ng baskagan.</span> 

<span data-segmentid="32" class="cx-segment">Ang isang malaking aplikasyon ng mga baskagan ay ang pagkakatawan sa mga [[Linear transformation|transpormasyong linyar]], na ang mga heneralisasyon ng mga [[Linear functions|punsiyong linyar]] tulad ng {{Nowrap|''f''(''x'') {{=}} 4''x''}}.</span> <span data-segmentid="35" class="cx-segment">Halimbawa, isang transpormasyong linyar ang [[Rotation (mathematics)|pag-ikot]] ng mga [[Bektor na Euclidean|tugano]] sa [[Dimensiyon|tatlong dimensiyonal]] na puwang, na maaaring katawanin ng isang [[Rotation matrix|baskagang pag-ikot]] '''R''': kung '''v''' ay isang [[Column vector|tuganong tudling]] (isang baskagan na may isang tudling lamang) na naglalarawan sa [[Position (vector)|posisyon]] ng isang punto sa lugar, ang produktong '''Rv''' ay isang tudling ng tugano na naglalarawan sa posisyon ng puntong iyon pagkatapos ng isang pag-ikot.</span> <span data-segmentid="42" class="cx-segment">Ang produkto ng dalawang [[Transformation matrices|baskagang pagbabagong-anyo]] ay isang baskagan na kumakatawan sa [[Function composition|kumposisyon]] ng dalawang [[Transformation (function)|transpormasyon]].</span> <span data-segmentid="46" class="cx-segment">Ang isa pang aplikasyon ng baskagan ay nasa paglutas ng mga [[System of linear equations|sistema ng mga ekwasyong linyar]].</span> <span data-segmentid="48" class="cx-segment">Kung [[Matrix (mathematics)#Square matrices|parisukat]] ang baskagan, posible na mahulaan ang ilan sa mga katangian nito sa pamamagitan ng pagtutuos ng [[Determinant|taliyak]] (Ingles: ''determinant'') nito.</span>  <span data-segmentid="51" class="cx-segment">Halimbawa, [[Invertible matrix|may kabaligtaran]] lamang ang isang baskagang parisukat [[If and only if|kung at tanging kung]] hindi [[0 (bilang)|sero]] ang taliyak nito.</span> <span data-segmentid="55" class="cx-segment">Maaaring makuha ang kabatiran sa [[heometriya]] ng isang transpormasyong linyar (kasama ang iba pang impormasyon) mula sa mga [[Eigenvalues and eigenvectors|eigenhalaga at eigentugano]].</span>

<span data-segmentid="58" class="cx-segment">Matatagpuan ang mga pagpapairal ng baskagan sa karamihan ng mga larangang pang-agham.</span> <span data-segmentid="59" class="cx-segment">Sa bawat sangay ng [[pisika]], kabilang ang mga [[klasikong mekaniks]], [[optika]], [[elektromagnetismo]], [[mekaniks na kwantum]], at [[Quantum electrodynamics|elektrodinamikang kwantum]], ginagamit ito upang pag-aralan ang mga pisikal na kababalaghan, tulad ng [[Rigid-body dynamics|paggalaw ng matibay na katawan]].</span> <span data-segmentid="67" class="cx-segment">Sa [[Computer graphics|grapikong kompyuter]], ginagamit ang mga ito upang manipulahin ang mga [[3D models|modelong 3D]] at ibahagi ang mga ito sa isang [[Glossary of computer graphics#screen space|2-dimensiyonal na screen]].</span> <span data-segmentid="71" class="cx-segment">Sa [[Probability theory|teoyrang probabilidad]] at mga [[estadistika]], ginagamit ang mga [[Stochastic matrix|stokastikong baskagan]] upang ilarawan ang mga hanay ng mga probabilidad; halimbawa, ginagamit ang mga ito sa loob ng algoritmo ng [[PageRank]] na nagraranggo ng mga pahina sa isang paghanap sa Google.<ref>K. Bryan at T. Leise. Ang $ 25,000,000,000 eigenvector: Ang linear algebra sa likod ng Google. SIAM Review, 48 (3): 569-581, 2006.</ref></span> <span data-segmentid="76" class="cx-segment">Hinehenralisa ng [[Matrix calculus|baskagang calculus]] ang mga klasiko't [[Pagsusuring matematikal|analytikong]] notasyon tulad ng [[deribatibo]] at [[Exponentials|eksponente]] sa mga mas mataas na dimensiyon.</span> <span data-segmentid="81" class="cx-segment">Ginagamit ang mga baskagan sa [[ekonomika]] upang ilarawan ang mga sistema ng mga relasyon sa ekonomiya.</span>

<span data-segmentid="83" class="cx-segment">Nakatuon ang isang pangunahing sangay ng [[numerikal na analisis]] sa pagpapaunlad ng mahusay na mga algoritmo para sa mga pagtutuos ng baskagan, isang paksa na ilan daantaong-gulang at ngayon ay isang lumalawak na larangan ng pananaliksik.</span> <span data-segmentid="85" class="cx-segment">Pinapadali</span> <span data-segmentid="85" class="cx-segment">ng ga [[Matrix (mathematics)#Decomposition|pamamaraang agnas ng baskagan]] ang mga pagtutuos, pareho sa aspektong teorya at praktikal.</span> <span data-segmentid="87" class="cx-segment">Pinapabilis ng mga pinasadyang algoritmo sa mga partikular na istraktura ng baskagan, tulad ng [[Sparse matrix|baskagang kalat-kalat]] at [[Diagonal matrix|mala-hilising baskagan]], ang pagtutuos sa [[Finite element method|paraan ng hangganing elemento]] at iba pang mga pagtutuos.</span>  <span data-segmentid="91" class="cx-segment">Nagkakaroon ng mga anwangganing baskagan sa teoryang buntalain at sa teoryang atomiko.</span> <span data-segmentid="92" class="cx-segment">Ang isang simpleng halimbawa ng anwanggaing baskagan ay ang baskagan na kumakatawan sa [[Deribatibo|deribatibong]] pakilos, na kumikilos sa [[Taylor series|seryeng Taylor]] ng isang punsiyon.</span> 

== Kahulugan ==
<span data-segmentid="96" class="cx-segment">Ang isang ''baskagan'' ay isang hugis-parihaba na taltag ng mga [[bilang]] o iba pang mga matematikang bagay kung saan tinukoyang mga sakilos tulad ng [[Matrix (mathematics)#Basic operations|pagdaragdag]] at [[Matrix (mathematics)#Matrix multiplication|pagpaparami]].<ref>{{Harvard citations|author=Lang|year=2002|nb=yes}}</ref></span> <span data-segmentid="100" class="cx-segment">Kadalasan, ang isang baskagan na nasa isang [[Field (mathematics)|larangang]] ''F'' ay isang hugis-parihaba na hanay ng mga bilangin kung saan miyembro ng ''F'' ang bawat isa''.''<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=209}}</ref><ref>{{harvtxt|Nering|1970|p=37}}</ref> Nakatutok ang karamihan ng artikulong ito sa ''tunay'' at ''hugnay na baskagan'', iyon ay, mga baskagan na may mga elementong [[tunay na bilang]] o [[Masalimuot na bilang|hugnay-bilang]], ayon sa pagkakabanggit.</span>  <span data-segmentid="104" class="cx-segment">Tinatalakay ang mga iba pang mga pangkalahatang uri ng mga tala sa [[Matrix (mathematics)#Matrices with more general entries|ibaba]].</span>  <span data-segmentid="106" class="cx-segment">Halimbawa, ito ay isang baskagang tunay:</span> 

<math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 
-1.3 & 0.6 \\ 
20.4 & 5.5 \\
9.7 & -6.2 \\
\end{bmatrix}.</math>

<span data-segmentid="109" class="cx-segment">Tinatawag ang mga bilang, mga simbolo o mga ekspresyon sa baskagan na mga ''tala'' nito o mga ''elemento'' nito.</span> <span data-segmentid="110" class="cx-segment">Tinatawag ang pahalang at patayo na mga linya ng mga talaan sa isang matrix na mga ''hilera'' at ''tudling'', ayon sa pagkakabanggit.</span> 

=== <span data-segmentid="111" class="cx-segment">Sukat</span> ===
<span data-segmentid="112" class="cx-segment">Tinutukoy ang sukat ng isang baskagan sa pamamagitan ng bilang ng mga nilalamang hilera at tudling nito.</span> <span data-segmentid="113" class="cx-segment">Ang isang baskagan na may ''m'' hilera at ''n'' tudling ay tinatawag na ng baskagang ''m'' × ''n'', kung saan tinatawag na kanyang ''sukat'' ang ''m'' at ''n.''</span> <span data-segmentid="114" class="cx-segment">Halimbawa, isang baskagang 3 × 2 ang baskagang '''A''' sa itaas.</span> 

<span data-segmentid="115" class="cx-segment">Tinatawag na mga ''[[Row vector|tuganong hilera]]'' ang mga baskagang na may solong hilera, at tinatawag na mga ''[[Column vectors|tuganong tudling]]'' ang mga may solong tudling.</span> <span data-segmentid="118" class="cx-segment">Tinatawag na ''[[Square matrix|baskagang parisukat]]'' ang isang baskagan na may parehong bilang ng mga hilera at tudling.</span> <span data-segmentid="120" class="cx-segment">Tinatawag na [[Matrix (mathematics)#Infinite matrices|''awangganing baskagan'']] ang isang baskagan na may walang katapusang bilang ng mga hilera o tudling (o ang dalawa).</span> <span data-segmentid="122" class="cx-segment">Sa ilang mga konteksto, tulad ng mga programang alhebra sa kompyuter, mahalaga na isaalang-alang ang isang baskagan na walang mga hilera o walang mga tudling, na tinatawag na ''[[Matrix (mathematics)#Empty matrices|baskagang hungkag]]''.</span> 
{| class="wikitable"
!<span data-segmentid="124" class="cx-segment">Pangalan</span>
!<span data-segmentid="125" class="cx-segment">Sukat</span>
!<span data-segmentid="126" class="cx-segment">Halimbawa</span>
!<span data-segmentid="127" class="cx-segment">Paglalarawan</span>
|-
|<span data-segmentid="128" class="cx-segment">[[Row vector|Tuganong hilera]]</span>
|<span data-segmentid="130" class="cx-segment">1 × ''n''</span>
| style="text-align:center;" |<math>\begin{bmatrix}3&7&2\end{bmatrix}</math><span data-segmentid="131" class="cx-segment"><math>\begin{bmatrix}3 & 7 & 2 \end{bmatrix}</math></span>
|<span data-segmentid="132" class="cx-segment">Baskagan na may isang hilera, na ginagamit minsan upang kumatawan sa isang tugano</span>
|-
|[[Column vector|Tuganong tudling]]
|<span data-segmentid="135" class="cx-segment">''n'' × 1</span>
| style="text-align:center;" |<span data-segmentid="136" class="cx-segment"><math>\begin{bmatrix}4 \\ 1 \\ 8 \end{bmatrix}</math></span>
|<span data-segmentid="137" class="cx-segment">Baskagan na may isang tudling, na ginagamit minsan upang kumatawan sa isang tugano</span>
|-
|<span data-segmentid="138" class="cx-segment">[[Square matrix|Baskagang parisukat]]</span>
|<span data-segmentid="140" class="cx-segment">''n'' × ''n''</span>
| style="text-align:center;" |<span data-segmentid="141" class="cx-segment"><math>\begin{bmatrix}
  9 & 13 & 5 \\
  1 & 11 & 7 \\
  2 & 6  & 3
  \end{bmatrix}</math></span>
|<span data-segmentid="142" class="cx-segment">Baskagan kung saan magkapareho ang bilang ng mga hilera at haligi, na ginagamit minsan  upang kumatawan sa isang [[Matrix (mathematics)#Linear transformations|transpormasyong linyar]] mula sa isang tuganong kalawakan papunta sa sarili nito, tulad ng [[Reflection (mathematics)|aninag]], [[Rotation (mathematics)|pag-ikot]], o [[Shear mapping|paggugupit]].</span>
|}

== Notasyon ==
<span data-segmentid="148" class="cx-segment">Kadalasang nakasulat ang mga baskagan sa mga [[Panaklong|kahon na panalikop]] o [[panaklong]]:</span> 

<math>\mathbf{A} = 
 \begin{bmatrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
 \end{bmatrix} = 
 \begin{pmatrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
 \end{pmatrix}=\left(a_{ij}\right) \in \mathbb{R}^{m \times n}.</math>

<span data-segmentid="153" class="cx-segment">Iba-iba ang mga hambingin ng notasyon ng simbolikong baskagan, na may ilang mga kalakaran.</span>  <span data-segmentid="154" class="cx-segment">Karaniwang sinasagisag ang mga baskagan gamit ang mga [[Maliit at malaking titik|malaking]] titik (tulad ng '''A''' sa mga halimbawa sa itaas), habang  kumakatawan ang katumbas na mga [[Maliit at malaking titik|maliit]] na titik, na may dalawang subskribong indeks (halimbawa, ''a''<sub>11</sub>, o ''a''<sub>1,1</sub>), sa mga tala.</span> <span data-segmentid="157" class="cx-segment">Bilang karagdagan sa paggamit ng mga malaking titik bilang sagisag ng mga baskagan, maraming mga may-akda na gumagamit ng espesyal na uri ng [[Emphasis (typography)|tipograpikong estilo]], karaniwang naka-boldface na tuwid (di-italic), upang higit pang ibukod ang mga baskagan mula sa iba pang mga bagay sa matematika.</span> <span data-segmentid="159" class="cx-segment">Nagsasangkot ng isang alternatibong notasyon sa paggamit ng isang dobleng salungguhit na may pangalan ng aligin, na mayroon o walang estilong boldface.</span> 

<span data-segmentid="160" class="cx-segment">Tinutukoy minsan ang tala sa ika-''i'' hilera at ika-''j'' tudling ng isang baskagang '''A''' bilang ang ''i'',''j'', (''i'',''j''), o ika-(''i'',''j'') tala ng baskagan, at pinakakaraniwang naitala bilang a<sub>''i'',''j''</sub>, o ''a<sub>ij</sub>''.</span> <span data-segmentid="161" class="cx-segment">''A''[''i,j''] o ''A<sub>i,j</sub>'' ang mga alternatibong notasyon para sa tala na iyon.</span>  <span data-segmentid="162" class="cx-segment">Halimbawa, ang talang (1,3) ng sumusunod na baskagang '''A''' ay 5 (na tinutukoy din bilang ''a''<sub>13</sub>, ''a''<sub>1,3</sub>, ''A''[''1,3''] o ''A<sub>1,3</sub>''):</span> 

<span data-segmentid="163" class="cx-segment"><math>
  \mathbf{A}=\begin{bmatrix} 
    4 & -7 & \color{red}{5} & 0 \\ 
    -2 & 0 & 11 & 8 \\
    19 & 1 & -3 & 12
  \end{bmatrix}</math></span>

<span data-segmentid="164" class="cx-segment">Minsan, maaaring tukuyin ang mga tala ng isang baskagan ng isang formula tulad ng ''a<sub>i</sub>''<sub>,''j''</sub> = ''f''(''i'', ''j'').</span>  <span data-segmentid="165" class="cx-segment">Halimbawa, tinutukoy ang bawat isang talaan ng sumusunod na baskagang '''A''' ng ''a<sub>ij</sub>'' = ''i'' − ''j''.</span> 

<span data-segmentid="166" class="cx-segment"><math>\mathbf A = \begin{bmatrix}
0 & -1 & -2 & -3\\
1 & 0 & -1 & -2\\
2 & 1 & 0 & -1
\end{bmatrix}</math></span>

<span data-segmentid="167" class="cx-segment">Sa kasong ito, paminsan-minsang tinutukoy ang baskagan mismo ng pormula na iyon, sa loob ng parisukat na mga panalikop o dobleng panaklong.</span>  <span data-segmentid="168" class="cx-segment">Halimbawa, tinutukoy ang baskagan sa itaas bilang '''A''' = [''i''-''j''], o '''A''' = ((''i''-''j'')).</span> <span data-segmentid="169" class="cx-segment">Kung ''m'' × ''n'' ang laki ng matrix, may bisa ang formula na nabanggit sa itaas ''f''(''i'', ''j'') para sa anumang ''i'' = 1, ..., ''m'' at anumang ''j'' = 1, ..., ''n''.</span>  <span data-segmentid="170" class="cx-segment">Maaaring tukuyin ito na hiwalay, o gamit ang ''m'' × ''n'' bilang subskribo.</span> <span data-segmentid="171" class="cx-segment">Halimbawa, 3 × 4 ang baskagang '''A''' sa itaas at maaaring tukuyin bilang '''A''' = [''i'' − ''j''] (''i'' = 1, 2, 3; ''j'' = 1, ..., 4), o '''A''' = [''i'' − ''j'']<sub>''3''×''4''</sub>.</span>

<span data-segmentid="172" class="cx-segment">Gumagamit ang ilang mga wikang pamprograma ng dobleng subskribong taltag (o taltag ng taltag) upang kumatawan sa isang baskagang ''m''-×-''n''.</span>  <span data-segmentid="173" class="cx-segment">Nagsisimula ang ilang mga <span data-segmentid="172" class="cx-segment">wikang pamprograma</span> sa pagbilang ng mga indeks ng taltag sa sero, kung saan ang mga tala ng isang ''m''-<span data-segmentid="172" class="cx-segment">×</span>-''n'' matrix ay naindeks ng {{Nowrap|0 ≤ ''i'' ≤ ''m'' − 1}} at {{Nowrap|0 ≤ ''j'' ≤ ''n'' − 1}}.<ref>{{Harvard citations|last1=Oualline|year=2003|loc=Ch. 5|nb=yes}}</ref></span> <span data-segmentid="174" class="cx-segment">Sinusunod ng artikulong ito ang mas karaniwang kombensyon sa matematika na pagsusulat kung saan nagsisimula sa 1 ang pagsulat.</span>

<span data-segmentid="175" class="cx-segment">Paminsan-minsan na ginagamit ang asterisko upang tumukoy sa buong hilera o tudling sa isang baskagan.</span>  <span data-segmentid="176" class="cx-segment">Halimbawa, tumutukoy ang ''a<sub>i,</sub>''<sub>*</sub> sa ika-i hilera ng '''A''', at tumutukoy ang ''a''<sub>*,''j''</sub> sa ika-j tudling ng '''A.''' Tinutukoy ang [[Pangkat (matematika)|hanay]] ng lahat ng baskagang ''m''-<span data-segmentid="172" class="cx-segment">×</span>-''n'' bilang 𝕄(''m'', ''n'').</span> 

== <span data-segmentid="178" class="cx-segment">Basikong sakilos</span> ==
Iilan ang mga basikong sakilos na maaaring gamitin upang baguhin ang mga baskagan, na tinatawag na ''pagdaragdag ng baskagan'', ''bilanging pagpaparami'', ''paglilipat'', ''pagpaparami ng baskagan'', mga ''sakilos ng hilera'', at ''kubaskagan''.<span data-segmentid="184" class="cx-segment"><ref>{{Harvard citations|last1=Brown|year=1991|nb=yes|loc=Definition I.2.1 (addition), Definition I.2.4 (scalar multiplication), and Definition I.2.33 (transpose)}}</ref></span>

=== <span data-segmentid="185" class="cx-segment">Pagdaragdag, bilanging pagpaparami at paglilipat</span> ===
{| class="wikitable"
!<span data-segmentid="186" class="cx-segment">Sakilos</span>
!Kahulugan
!<span data-segmentid="188" class="cx-segment">Halimbawa</span>
|-
|[[Pagdaragdag ng baskagan]]
|<span data-segmentid="191" class="cx-segment">Ang ''kabuuang'' '''A'''+'''B''' ng dalawang baskagang ''m''-na-''n'' '''A''' at '''B''' ay kinakalkula ayon sa tala: </span>

: <span data-segmentid="192" class="cx-segment">('''A''' + '''B''')<sub>''i'',''j''</sub> = '''A'''<sub>''i'',''j''</sub> + '''B'''<sub>''i'',''j''</sub>, kung saan 1 ≤ ''i'' ≤ ''m'' at 1 ≤ ''j'' ≤ ''n''.</span>
|<span data-segmentid="193" class="cx-segment"><math>

\begin{bmatrix}
1 & 3 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 5  \\
7 & 5 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1+0 & 3+0 & 1+5 \\
1+7 & 0+5 & 0+0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 6 \\
8 & 5 & 0
\end{bmatrix}
</math></span>
|-
|[[Bilanging Pagpaparami]]
|<span data-segmentid="196" class="cx-segment">Ang produktong ''c'''''A''' ng isang bilang ''c'' (na tinatawagang bilangin sa pananalita sa [[walang-anyong alhebra]]) at isang baskagang '''A''' ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagpaparami ng bawat tala ng '''A''' sa ''c'': </span>

: {{nowrap begin}}(''c'''''A''')<sub>''i'',''j''</sub> = ''c'' · '''A'''<sub>''i'',''j''</sub>.{{nowrap end}}

<span data-segmentid="199" class="cx-segment">''Bilanging pagpaparami'' ang tawag sa sakilos na ito, pero hindi pinapangalan ang kanyang resulta na "bilanging produkto" para maiwasan ang pagkalito, dahil ginagamit minsan ang "bilanging produkto" bilang kasingkahulugan ng "[[produktong panloob]]".</span>
|<span data-segmentid="201" class="cx-segment"><math>2 \cdot

\begin{bmatrix}
1 & 8 & -3 \\
4 & -2 & 5
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 \cdot 1 & 2\cdot 8 & 2\cdot -3 \\
2\cdot 4 & 2\cdot -2 & 2\cdot 5
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 & 16 & -6 \\
8 & -4 & 10
\end{bmatrix}
</math></span>
|-
|[[Paglilipat]]
|<span data-segmentid="204" class="cx-segment">Ang ''lipat'' of an ''m''-na-''n'' na baskagang '''A''' ay ang nabuong ''n''-na-''m'' na baskagang '''A'''<sup>T</sup> (na tinutukoy rin bilang '''A'''<sup>tr</sup> or <sup>t</sup>'''A''') sa pamamagitan ng paglipat ng hilera sa tudling at bisebersa: </span>

: {{nowrap begin}}('''A'''<sup>T</sup>)<sub>''i'',''j''</sub> = '''A'''<sub>''j'',''i''</sub>.{{nowrap end}}
|<span data-segmentid="205" class="cx-segment"><math>

\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -6 & 7
\end{bmatrix}^\mathrm{T} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
2 & -6 \\
3 & 7
\end{bmatrix}
</math></span>
|}
<span data-segmentid="206" class="cx-segment">Naaangkop din ang mga pamilyar na katangian ng mga bilang sa mga sakilos na ito ng mga baskagan: halimbawa, [[Commutative|palitin]] ang pagdaragdag, iyon ay, hindi nakasalalay ang kabuuan ng baskagan sa pagkakasunud-sunod ng mga sinuma: '''A''' + '''B''' = '''B''' + '''A.<ref>{{Harvard citations|last1=Brown|year=1991|nb=yes|loc=Theorem I.2.6}}</ref>''' Magkabagang ang lipat sa pagdaragdag at bilangnging pagpaparami, tulad ng ipinahayag ng (''c'''''A''')<sup>T</sup> = ''c''('''A'''<sup>T</sup>) at ('''A''' + '''B''')<sup>T</sup> = '''A'''<sup>T</sup> + '''B'''<sup>T</sup>.</span> <span data-segmentid="208" class="cx-segment">Sa wakas, ('''A'''<sup>T</sup>)<sup>T</sup> = '''A.'''</span>

=== <span data-segmentid="209" class="cx-segment">Pagpaparami ng baskagan</span> ===
[[Talaksan:Matrix_multiplication_diagram_2.svg|link=https://tl.wikipedia.org/wiki/Talaksan:Matrix_multiplication_diagram_2.svg|right|thumb|200x200px|<span data-segmentid="210" class="cx-segment">Eskematikong paglalarawan ng produktong baskagan '''AB''' ng dalawang baskagang '''A''' at '''B.'''</span>]]
<span data-segmentid="211" class="cx-segment">Depinido lamang ang ''pagpaparami'' ng dalawang baskagan kung at tanging kung magkapareho ang bilang ng mga tudling ng kaliwang baskagan at ang bilang ng mga hilera ng kanang baskagan.</span> <span data-segmentid="212" class="cx-segment">Kung baskagang ''m''-na-''n'' ang '''A''' at baskagang ''n''-na-''p ang'' '''B''', ang kanilang ''produktong baskagang'' '''AB''' ay ang baskagang ''m''-na-''p'' kung saan ibinigay ang mga tala ng [[produktong tuldok]] ng kaukulang hilera ng '''A''' at ang kaukulang tudling ng '''B''':</span> 

<span id="matrix_product"><span data-segmentid="214" class="cx-segment"><math> [\mathbf{AB}]_{i,j} = a_{i,1}b_{1,j} + a_{i,2}b_{2,j} + \cdots + a_{i,n}b_{n,j} = \sum_{r=1}^n a_{i,r}b_{r,j},</math></span></span>

kung saan 1 ≤ ''i'' ≤ ''m'' at 1 ≤ ''j'' ≤ ''p''.<ref>{{Harvard citations|last1=Brown|year=1991|nb=yes|loc=Definition I.2.20}}</ref> Halimbawa,  kinakalkula ang nakasaad na tala na 2340 sa produkto bilang {{math|(2 × 1000) + (3 × 100) + (4 × 10) {{=}} 2340:}} 

<span data-segmentid="215" class="cx-segment"><math>
\begin{align}
\begin{bmatrix}
\underline{2} & \underline 3 & \underline 4 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
0 & \underline{1000} \\
1 & \underline{100} \\
0 & \underline{10} \\
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
3 & \underline{2340} \\
0 & 1000 \\
\end{bmatrix}.
\end{align}
</math></span>

<span data-segmentid="216" class="cx-segment">Pasok ang pagpaparami ng baskagan sa mga patakarang ('''AB''')'''C''' = '''A'''('''BC''') ([[Associativity|asosyatibidad]]), at ('''A''' + '''B''')'''C''' = '''AC''' + '''BC''' pati na rin ang '''C'''('''A''' + '''B''') = '''CA''' + '''CB''' (kaliwa at kanang [[Distributivity|distributibidad]]), kung depinido ang iba't ibang mga produkto dahil sa laki ng mga baskagan.<ref>{{Harvard citations|last1=Brown|year=1991|nb=yes|loc=Theorem I.2.24}}</ref></span>  <span data-segmentid="219" class="cx-segment">Maaaring depinido ang produktong '''AB''' nang walang '''BA''' na depinido, katulad kung '''A''' at '''B''' ay ''m-''na-''n'' at ''n-''na''-k'' matrices, ayon sa pagkakabanggit, at {{Nowrap|''m'' ≠ ''k''.}}</span> <span data-segmentid="220" class="cx-segment">Kahit na depinido ang dalawang produkto, hindi nila kailangang maging pantay, sa pangkalahatan</span> 

<span data-segmentid="221" class="cx-segment">'''AB''' ≠ '''BA''',</span>

<span data-segmentid="222" class="cx-segment">iyon ay, <span id="non_commutative">hindi [[Commutativity|komutatibo]]</span> ang <span id="non_commutative">pagpaparami ng baskagan,</span> sa minarkahang kaibahan sa mga (makatwiran, tunay, o hugnayan) na mga bilang na hindi nakabatay ang produkto sa pagkakasunud-sunod ng mga salik.</span> <span data-segmentid="224" class="cx-segment">Ang isang halimbawa ng dalawang baskagan na hindi komutatibo sa bawat isa ay:</span> 

<span data-segmentid="225" class="cx-segment"><math>\begin{bmatrix}
1 & 2\\
3 & 4\\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 0\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 3\\
\end{bmatrix},
</math></span>

<span data-segmentid="226" class="cx-segment">samantalang</span> 

<math>\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 0\\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
1 & 2\\
3 & 4\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
3 & 4\\
0 & 0\\
\end{bmatrix}.</math>

<span data-segmentid="229" class="cx-segment">Bukod sa kakalarawan lang na ordinaryong pagpaparami ng baskagan, mayroong iba pang hindi gaanong ginagamit na mga sakilos sa mga baskagan na maaaring isaalang-alang bilang paraan ng pagpaparami, tulad ng [[Hadamard product (matrices)|produktong Hadamard]] at [[Hadamard product (matrices)|produkto ng Kronecker]].<ref>{{Harvard citations|last1=Horn|last2=Johnson|year=1985|loc=Ch. 4 and 5|nb=yes}}</ref></span> <span data-segmentid="232" class="cx-segment">Lumilitaw sila sa paglutas ng mga ekwasyon ng baskagan tulad ng [[Sylvester equation|ekwasyong Sylvester]].</span>

=== <span data-segmentid="234" class="cx-segment">Mga sakilos ng hilera</span> ===
<span data-segmentid="235" class="cx-segment">May tatlong uri ng mga sakilos ng hilera:</span> 

# <span data-segmentid="236" class="cx-segment">pagdaragdag ng hilera, kung saan nagdaragdag ng isang hilera sa isa pa;</span>
# <span data-segmentid="237" class="cx-segment">pagpaparami ng hilera, kung saan nagpaparami ng lahat ng mga tala ng isang hilera ng isang di-serong konstante;</span>
# <span data-segmentid="238" class="cx-segment">pagpalit ng hilera, kung saan nagpapalitan ng dalawang hanay ng isang baskagan;</span>

<span data-segmentid="239" class="cx-segment">Ginagamit ang mga sakilos na ito sa maraming paraan, kabilang ang paglutas ng mga [[Linear equation|ekwasyong linyar]] at paghahanap ng mga [[Matrix inverse|kabaligtaran ng baskagan]].</span> 

=== <span data-segmentid="242" class="cx-segment">Kubaskagan</span> ===
<span data-segmentid="243" class="cx-segment">Ang isang '''kubaskagan''' ng baskagan ay nakukuha sa pamamagitan ng pagtatanggal ng anumang koleksyon ng mga hilera at/o mga tudling.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|p=16}}</ref><ref>{{harvtxt|Kreyszig|1972|p=220}}</ref><ref name="Protter 1970 869">{{harvtxt|Protter|Morrey|1970|p=869}}</ref></span> <span data-segmentid="244" class="cx-segment">Halimbawa, mula sa sumusunod na baskagang 3-na-4, maaaring bumuo ng isang kubaskagang 2-na-3 sa pamamagitan ng pag-alis ng ika-3 hilera at ng ika-2 tudling:</span> 

<math>\mathbf{A}=\begin{bmatrix} 
    1 & \color{red}{2} & 3 & 4 \\ 
    5 & \color{red}{6} & 7 & 8 \\
    \color{red}{9} & \color{red}{10} & \color{red}{11} & \color{red}{12}
  \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 4 \\ 
    5 & 7 & 8 
  \end{bmatrix}.</math>

<span data-segmentid="247" class="cx-segment">Nahahanap ang mga [[Minor (linear algebra)|kalitan]] at kakabuo ng isang baskagan sa pamamagitan ng pagkalkula ng [[Determinant|taliyak]] ng ilang mga kubaskagan.<ref name="Protter 1970 8692">{{harvtxt|Protter|Morrey|1970|p=869}}</ref><ref>{{harvtxt|Kreyszig|1972|pp=241,244}}</ref></span> 

<span data-segmentid="250" class="cx-segment">Ang '''punong kubaskagan''' ay isang kubaskagang parisukat na nagmumula kapag tinanggal ang ilang mga hilera at mga tudling.</span> <span data-segmentid="251" class="cx-segment">Naiiba ang kahulugan ayon sa may-akda.</span> <span data-segmentid="252" class="cx-segment">Batay sa ilang mga may-akda, ang punong kubaskagan ay isang kubaskagan kung saan nananatiling pareho ang hanay ng mga hilerang indeks sa hanay ng mga mananatiling tudling na indeks.<ref>{{Citation|title=Matrices and Linear Algebra|series=Dover Books on Mathematics|first1=Hans|last1=Schneider|first2=George Phillip|last2=Barker|publisher=Courier Dover Corporation|year=2012|isbn=9780486139302|page=251|url=https://books.google.com/books?id=9vjBAgAAQBAJ&pg=PA251}}.</ref><ref>{{Citation|title=Theory of Matrices|series=Dover books on advanced mathematics|first1=Sam|last1=Perlis|publisher=Courier Dover Corporation|year=1991|isbn=9780486668109|page=103|url=https://books.google.com/books?id=5_sxtcnvLhoC&pg=PA103}}.</ref></span> Dinedepinihin <span data-segmentid="253" class="cx-segment">ng iba pang mga may-akda ang punong kubaskagan bilang isa kung saan ang mga unang ''k'' hilera at haligi, para sa ilang bilang ''k'', ay ang mga nananatili;<ref>{{Citation|title=Elementary Linear Algebra|first1=Howard|last1=Anton|publisher=John Wiley & Sons|year=2010|isbn=9780470458211|page=414|url=https://books.google.com/books?id=YmcQJoFyZ5gC&pg=PA414}}.</ref> tinatawag din ang ganitong uri ng kubaskagan na isang '''nangungunang punong kubaskagan'''.<ref>{{Citation|title=Matrix Analysis|first1=Roger A.|last1=Horn|first2=Charles R.|last2=Johnson|publisher=Cambridge University Press|year=2012|isbn=9780521839402|page=17|url=https://books.google.com/books?id=5I5AYeeh0JUC&pg=PA17}}.</ref></span> 

== <span data-segmentid="254" class="cx-segment">Ekwasyong linyar</span> ==
<span data-segmentid="255" class="cx-segment">Maaaring gamitin ang mga baskagan upang sulatin nang masinsin at pagaanin ang maramihang ekwasyong linyar, iyon ay, mga sistema ng mga ekwasyong linyar.</span> <span data-segmentid="256" class="cx-segment">Halimbawa, kung isang baskagang ''m''-na-''n'' ang '''A''', nagtatalaga ang '''x''' ng isang tuganong tudling (iyon ay, baskagang ''n''×1) ng ''n'' aliging ''x''<sub>1,</sub> ''x''<sub>2,</sub> ..., ''x<sub>n,</sub>'' at isang tugagnong tudling na ''m''×1 ang '''b''', ang matris equation ay</span> 

<span data-segmentid="257" class="cx-segment"><math>\mathbf{Ax} = \mathbf{b}</math></span>

<span data-segmentid="258" class="cx-segment">na katumbas ng sistema ng mga ekwasyong linyar<ref>{{Harvard citations|last1=Brown|year=1991|nb=yes|loc=I.2.21 and 22}}</ref></span> 

<span data-segmentid="259" class="cx-segment"><math>\begin{align}
  a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 + &\cdots + a_{1,n}x_n = b_1 \\
                            &\ \ \vdots \\
  a_{m,1}x_1 + a_{m,2}x_2 + &\cdots + a_{m,n}x_n = b_m 
\end{align}</math></span>

<span data-segmentid="260" class="cx-segment">Sa paggamit ng mga baskagan, maaaring lutasin ito nang mas masinsin kaysa sa magiging posible kung sinulat nang hiwalay ang lahat ng mga ekwasyon.</span> <span data-segmentid="261" class="cx-segment">Kung ''n'' = ''m'' at [[Independent equation|sarilinin]] ang mga ekwasyon, maaari itong gawin sa pamamagitan ng pagsulat ng</span> 

<span data-segmentid="263" class="cx-segment"><math> \mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{b} </math></span>

<span data-segmentid="264" class="cx-segment">kung saan '''A'''<sup>−1</sup> ang [[Inverse matrix|kabaligtarang baskagan]] ng '''A.''' Kung walang kabaligtaran ang '''A''', maaaring hanapin ang mga solusyon kung ang mayroon gamit ang [[Generalized inverse|lahatang kabaligtaran]].</span> 

== Transpormasyong linyar ==
[[Talaksan:Area_parallellogram_as_determinant.svg|link=https://tl.wikipedia.org/wiki/Talaksan:Area_parallellogram_as_determinant.svg|right|thumb|<span data-segmentid="268" class="cx-segment">Tumutugma ang mga tuganong kinakatawan ng isang baskagang 2-na-2 sa mga gilid ng isang yunit na parisukat (Ingles: ''unit square'') na nagbagong-anyo at naging paralelogram.</span>]]
<span data-segmentid="269" class="cx-segment">Ipinapakita ng mga baskagan at pagpaparami ng bakskagan ng kanilang mahahalagang tampok kapag may kaugnayan sa ''transpormasyong linyar'', na kilala rin bilang mga ''mapang linyar''.</span> <span data-segmentid="270" class="cx-segment"><span id="linear_maps">Binubuo ng ''m''-na-''n'' na baskagang tunay na '''A''' ang transpormasyong linyar '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup> na nagmamapa sa bawat tuganong '''x''' sa '''R'''<sup>''n''</sup> sa (baskagan) na produkto '''Ax''', na isang tugano sa '''R'''<sup>''m''</sup>. Sa kabaligtaran, nagmumula ang bawat transpormasyong linyar ''f:'' '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup> mula sa isang natatanging ''m''-na-''n'' na baskagang '''A''': kung magiging espesipiko, ang talang {{Nowrap|ika-(''i'', ''j'')}} ng '''A''' ay ang ika-''i'' na tugmaang pampook (Ingles: ''coordinate'') ng ''f'''''(e'''<sub>''j),''</sub> kung saan ej = (0,..., 0,1,0,..., 0) ang [[Unit vector|tuganong yunit]] na may 1 sa ika-''j'' posisyon at 0 sa ibang lugar.</span></span> <span data-segmentid="272" class="cx-segment">Sinasabi na kumakatawan ang baskagang '''A''' sa mapang linyar ''f'', at  tinatawag ang '''A''' na ''baskagan ng transpormasyon'' ng ''f''</span>

<span data-segmentid="273" class="cx-segment">Halimbawa, ang baskagang 2×2</span> 

<span data-segmentid="274" class="cx-segment"><math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & c\\b & d \end{bmatrix}</math></span>

<span data-segmentid="275" class="cx-segment">ay maaaring matingnan bilang pagbabagong-anyo ng [[Unit square|yunit na parisukat]] sa isang [[paralelogram]] na may mga bagtasan (Ingles: ''vertices'') sa {{Nowrap|(0, 0)}}, {{Nowrap|(''a'', ''b'')}}, {{Nowrap|(''a'' + ''c'', ''b'' + ''d'')}}, at {{Nowrap|(''c'', ''d'')}}.</span> <span data-segmentid="278" class="cx-segment">Nakuha ang paralelogram na nakalarawan sa kanan sa pamamagitan ng pagpaparami ng '''A''' sa bawat isa sa mga tugano ng tudling<math>\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} </math></span> <span data-segmentid="278" class="cx-segment"> at</span> <math>\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}</math> paturno-turno<span data-segmentid="278" class="cx-segment">.</span> <span data-segmentid="279" class="cx-segment">Tinutukoy ng mga tugano ang mga bagtasan ng yunit na parisukat.</span>

<span data-segmentid="280" class="cx-segment">Ipinapakita ng sumusunod na talahanayan ang bilang ng mga [[2 × 2 real matrices|baskagang 2-na-2]] na may kaugnay na mapang linyar ng '''R'''<sup>2</sup>.</span> <span data-segmentid="282" class="cx-segment">Naisamapa ang bughaw na orihinal sa luntiang grid at mga hugis.</span> <span data-segmentid="283" class="cx-segment">Minarkahan ang pinagmulan (0,0) ng itim na punto.</span>
{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|<span data-segmentid="284" class="cx-segment">[[Shear mapping|Pahalang na shear]] na may m = 1.25.</span>
|<span data-segmentid="286" class="cx-segment">[[Reflection (mathematics)|Aninag]] sa pamamagitan ng vertical axis</span>
|<span data-segmentid="288" class="cx-segment">[[Squeeze mapping|Pisiling pagmamapa]] sa r = 3/2</span>
|<span data-segmentid="290" class="cx-segment">[[Scaling (geometry)|Pag-iskala]] sa pamamagitan ng isang kabuong 3/2</span>
|<span id="rotation_matrix">[[Rotation matrix|Inog]] ng π/6 = 30°</span>
|-
|<math>\begin{bmatrix}
  1 & 1.25  \\
  0 & 1
\end{bmatrix}</math>
|<math>\begin{bmatrix}
  -1 & 0  \\
   0 & 1
\end{bmatrix}</math>
|<math>\begin{bmatrix}
  \frac{3}{2} & 0  \\
            0 & \frac{2}{3}
\end{bmatrix}</math>
|<math>\begin{bmatrix}
  \frac{3}{2} & 0  \\
            0 & \frac{3}{2}
\end{bmatrix}</math>
|<math>\begin{bmatrix}
  \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) & -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \\
  \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) &  \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)
\end{bmatrix}</math>
|-
| width="20%" |[[File:VerticalShear_m=1.25.svg|link=https://tl.wikipedia.org/wiki/File:VerticalShear_m=1.25.svg|175x175px]]
| width="20%" |[[File:Flip_map.svg|link=https://tl.wikipedia.org/wiki/File:Flip_map.svg|150x150px]]
| width="20%" |[[File:Squeeze_r=1.5.svg|link=https://tl.wikipedia.org/wiki/File:Squeeze_r=1.5.svg|150x150px]]
| width="20%" |[[File:Scaling_by_1.5.svg|link=https://tl.wikipedia.org/wiki/File:Scaling_by_1.5.svg|125x125px]]
| width="20%" |[[File:Rotation_by_pi_over_6.svg|link=https://tl.wikipedia.org/wiki/File:Rotation_by_pi_over_6.svg|125x125px]]
|}
<span data-segmentid="299" class="cx-segment">Sa ilalim ng [[Bijection|1-sa-1 na kaisahan]] ng mga baskagan at mapang linyar, tumutugma ang pagpaparami ng baskagan sa [[Function composition|komposisyon]] ng mga mapa:<ref>{{Harvard citations|last1=Greub|year=1975|nb=yes|loc=Section III.2}}</ref> kung kumakatawan ang isang ''k''-na-''m'' na baskagang '''B''' sa isa pang mapang linyar ''g'': '''R'''<sup>''m''</sup> → '''R'''<sup>''k''</sup>, kinakatawan ang komposisyon {{Nowrap|''g'' ∘ ''f''}} ng '''BA''' dahil</span> 

<span data-segmentid="302" class="cx-segment">(''g'' ∘ ''f'')('''x''') = ''g''(''f''('''x''')) = ''g''('''Ax''') = '''B'''('''Ax''') = ('''BA''')'''x'''.</span>

<span data-segmentid="303" class="cx-segment">Sumusunod ang huling katumbasan mula sa nabanggit na asosyatibidad ng pagpaparami ng baskagan.</span> 

<span data-segmentid="304" class="cx-segment">Ang [[Rank of a matrix|ranggo ng baskagang]] '''A''' ay ang pinakamataas na bilang ng mga [[Linear independence|sarilining linyar]] na tuganong hilera ng baskagan, na may katumbas na pinakamataas na bilang ng mga sarilining linyar na hanay ng mga tugano.<ref>{{Harvard citations|last1=Brown|year=1991|nb=yes|loc=Definition II.3.3}}</ref></span> <span data-segmentid="307" class="cx-segment">Ito rin ang [[Hamel dimension|dimensiyon]] ng [[Image (mathematics)|imahe]] ng mapang linyar na kinakatawan ng '''A'''.<ref>{{Harvard citations|last1=Greub|year=1975|nb=yes|loc=Section III.1}}</ref> Binanggit ng [[Rank–nullity theorem|teoryang ranggo-utilidad]] na magkatumbas ang dimensiyon ng [[Kernel (matrix)|kernel]] ng isang baskagan dagdag sa ranggo at ang bilang ng mga tudling ng baskagan.<ref>{{Harvard citations|last1=Brown|year=1991|nb=yes|loc=Theorem II.3.22}}</ref></span> 

== <span data-segmentid="312" class="cx-segment">Baskagang parisukat</span> ==
{{Main|Baskagang parisukat}}<span data-segmentid="313" class="cx-segment">Ang [[Square matrix|baskagang parisukat]] ay isang baskagan na may parehong bilang ng mga hilera at tudling.</span> <span data-segmentid="315" class="cx-segment">Kilala ang baskagang ''n''-na-''n'' bilang baskagang parisukat ng sunurang ''n.''</span> <span data-segmentid="316" class="cx-segment">Maaaring idagdag at paramihin ang anumang dalawang baskagang parisukat na may magkatumbas na sunuran.</span> <span data-segmentid="317" class="cx-segment">Bumubuo ang mga talaang ''a<sub>ii</sub>''  ng [[Main diagonal|pangunahing hilis]] ng isang baskagang pariskuat.</span> <span data-segmentid="319" class="cx-segment">Sila ay nasa guning linya na dumadangkal mula sa itaas na kaliwang sulok hanggang sa ibabang kanang sulok ng baskagan.</span> 

=== <span data-segmentid="320" class="cx-segment">Mga pangunahing uri</span> ===
{| class="wikitable" style="float:right; margin:0ex 0ex 2ex 2ex;"
!Pangalan
!<span data-segmentid="322" class="cx-segment">Halimbawa na ''n'' = 3</span>
|-
|[[Hilising baskagan]]
| style="text-align:center;" |<math>\begin{bmatrix}
           a_{11} & 0 & 0 \\
           0 & a_{22} & 0 \\
           0 & 0 & a_{33} \\
      \end{bmatrix}</math>
|-
|[[Pang-ibabang tatsihaing baskagan]]
| style="text-align:center;" |<math>\begin{bmatrix}
           a_{11} & 0 & 0 \\
           a_{21} & a_{22} & 0 \\
           a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
      \end{bmatrix}</math>
|-
|[[Pang-itaas na tatsihaing baskagan]]
| style="text-align:center;" |<math>\begin{bmatrix}
           a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
           0 & a_{22} & a_{23} \\
           0 & 0 & a_{33} \\
      \end{bmatrix}</math>
|}

==== <span data-segmentid="332" class="cx-segment">Hilising at tatsihaing baskagan</span> ====
<span data-segmentid="333" class="cx-segment">Kung sero ang lahat ng mga talaan ng '''A''' sa ibaba ang pangunahing hilisin, tinatawag na ''pang-itaas na [[Triangular matrix|tatsihang baskagan]]'' ang '''A'''.</span> <span data-segmentid="335" class="cx-segment">Katulad nito kung sero ang lahat ng mga talaan ng ''A'' sa itaas ng pangunahing hisilin, tinatawag ang '''<span data-segmentid="333" class="cx-segment">A</span>''' na ''pang-ibabang tatsihang baskagan''.</span> <span data-segmentid="336" class="cx-segment">Kung sero ang lahat ng mga talaan sa labas ng pangunahing hilisan, tinatawag ang '''A''' na [[Diagonal matrix|hilising baskagan]].</span>

==== <span data-segmentid="338" class="cx-segment">Kasiyangyaang baskagan</span> ====
{{Main|Kasiyangyaang baskagan}}<span data-segmentid="339" class="cx-segment">Ang ''kasiyangyaang baskagan'' '''I'''<sub>''n''</sub> ng laking ''n'' ay ang baskagang ''n''-na-''n'' kung saan 1 ang lahat ng mga talaan sa [[Main diagonal|pangunahing hilisin]] at 0 ang lahat ng iba pang mga talaan, halimbawa,</span> 

<span data-segmentid="341" class="cx-segment"><math>
\mathbf{I}_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}
,\ 
\mathbf{I}_2 = \begin{bmatrix}
         1 & 0 \\
         0 & 1 
      \end{bmatrix}
,\ \cdots ,\ 
\mathbf{I}_n = \begin{bmatrix}
         1 & 0 & \cdots & 0 \\
         0 & 1 & \cdots & 0 \\
         \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
         0 & 0 & \cdots & 1
      \end{bmatrix}
</math></span>

<span data-segmentid="342" class="cx-segment">Ito ay isang baskagang parisukat ng sunurang ''n'', at isang espesyal na uri ng [[Diagonal matrix|hilising baskagan]].</span> <span data-segmentid="344" class="cx-segment">Tinatawag ito na kasiyangyaang baskagan dahil hindi nababago ang baksagan kapag pinaparami ito:</span> 

<span data-segmentid="345" class="cx-segment">'''AI'''<small>''n''</small> = '''I'''''<small>m</small>'''''A''' = '''A''' para sa anumang ''m''-na-''n'' na baskagang '''A.'''</span>

<span data-segmentid="346" class="cx-segment">Ang di-serong bilanging maramihan ng isang kasiyangyaang baskagan ay tinatawag na ''bilanging'' baskagan.</span> <span data-segmentid="347" class="cx-segment">Kung nagmula ang mga talaan sa baskagan sa isang larangin, bumubuo ang bilanging baskagan ng isang pangkat, sa ilalim ng pagpaparami ng baskagan, na isomorpiko sa paramihing pangkat ng mga elementong di-sero ng larangan.</span>

==== <span data-segmentid="348" class="cx-segment">Parianyuing o skew-parianyuing baskagan</span> ====
<span data-segmentid="349" class="cx-segment">Ang baskagang parisukat na '''A''' na katumbas ng lipat nito, ibig sabihin na '''A''' = '''A'''<sup>T</sup>, ay isang [[Symmetric matrix|parianyuing baskagan]].</span> <span data-segmentid="351" class="cx-segment">Kung sa halip nito, katumbas ang '''A''' sa negatibo ng lipat nito, ibig sabihin na '''A''' = −'''A'''<sup>T</sup>, at isang [[Skew-symmetric matrix|skew-parianyuing baskagan]] ang '''A'''.</span> <span data-segmentid="353" class="cx-segment">Sa baskagang hugnay, kadalasang pinapalitan ang parianyo ng konsepto ng [[Hermitian matrix|baskagang Hermityano]], na tumutupad sa '''A'''<sup>*</sup> = '''A''', kung saan tumutukoy ang bituin o [[Asterisk|asterisko]] sa [[Conjugate transpose|katapatang lipat]] ng baskagan, iyon ay, ang lipat ng [[Complex conjugate|katapatang hugnay]] ng '''A'''.</span> 

<span data-segmentid="358" class="cx-segment">Ayon sa [[Spectral theorem|hunaing ispektral]], may [[Eigenbasis|eigenbase]] ang mga tunay na baskagang parianyuin at hugnay na baskagang Hermityano; iyon ay, maaaring ipahiwatig ang bawat tugano bilang isang [[Linear combination|kumbinasyong linyar]] ng mga eigentugano.</span> <span data-segmentid="362" class="cx-segment">Sa dalawang kalagayang iyon, tunay ang lahat ng mga eigenhalaga.<ref>{{Harvard citations|last1=Horn|last2=Johnson|year=1985|nb=yes|loc=Theorem 2.5.6}}</ref></span> <span data-segmentid="363" class="cx-segment">Maaaring heneralisahin ang hunaing ito sa mga sitwasyong dimensiyong awangganin na may kinalaman sa mga baskagan na may awangganing hilera at tudling, tingnan sa [[Baskagan (matematika)#Awangganing baskagan|ibaba]].</span>

==== <span data-segmentid="365" class="cx-segment">Baskagang mababaligtad at ang kabaligtaran nito</span> ====
<span data-segmentid="366" class="cx-segment">Ang isang baskagang parisukat na '''A''' ay tinatawag na ''[[Invertible matrix|mababaligtad]]'' o ''di-isahan'' kung may isang baskagang '''B''' tulad na</span> 

<span data-segmentid="368" class="cx-segment">'''AB''' = '''BA''' = '''I'''<sub>''n''</sub>, <ref>{{Harvard citations|last1=Brown|year=1991|nb=yes|loc=Definition I.2.28}}</ref><ref>{{Harvard citations|last1=Brown|year=1991|nb=yes|loc=Definition I.5.13}}</ref></span>

<span data-segmentid="369" class="cx-segment">kung saan '''I'''<sub>''n''</sub> ang ''n''×''n'' na [[Identity matrix|kasiyangyaang baskagan]] na may mga isa sa [[Main diagonal|pangunahing hilising]] at mga sero sa ibang lugar.</span> <span data-segmentid="372" class="cx-segment">Kung may '''B''', natatangi ito at tinatawag na ''[[Invertible matrix|kabaligtarang baskagan]]'' ng '''A''', na sinusulat na '''A'''<sup>-1</sup>.</span> 

==== <span data-segmentid="374" class="cx-segment">Baskagang tiyak</span> ====
{| class="wikitable" style="float:right; text-align:center; margin:0ex 0ex 2ex 2ex;"
!<span data-segmentid="375" class="cx-segment">[[Positive definite matrix|Positibong tiyak na baskagan]]</span>
!<span data-segmentid="377" class="cx-segment">[[Indefinite matrix|Di-tiyak na baskagan]]</span>
|-
|<math>\begin{bmatrix}
         \frac{1}{4} & 0 \\
                   0 & 1 \\
     \end{bmatrix}</math> 
|<math>\begin{bmatrix}
         \frac{1}{4} & 0 \\
                   0 & -\frac{1}{4} 
     \end{bmatrix}</math>
|-
|<span data-segmentid="381" class="cx-segment">''Q''(''x'', ''y'') = 1/4 ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup></span>
|<span data-segmentid="382" class="cx-segment">''Q''(''x'',''y'') = 1/4 ''x''<sup>2</sup> − 1/4 y<sup>2</sup></span>
|-
|<span data-segmentid="383" class="cx-segment">[[File:Ellipse_in_coordinate_system_with_semi-axes_labelled.svg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Ellipse_in_coordinate_system_with_semi-axes_labelled.svg|150x150px]]</span><span data-segmentid="383" class="cx-segment">Mga puntos kung saan ''Q''(''x'',''y'') = 1</span> 
<span data-segmentid="383" class="cx-segment">([[Elipso]]).</span>
|<span data-segmentid="385" class="cx-segment">[[File:Hyperbola2_SVG.svg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Hyperbola2_SVG.svg|150x150px]]</span><span data-segmentid="385" class="cx-segment">Mga puntos kung saan ''Q''(''x'',''y'') = 1</span> 
<span data-segmentid="385" class="cx-segment">([[Hyperbola|Hiperbola]]).</span>
|}
<span data-segmentid="387" class="cx-segment">Tinatawag na ''[[Positive-definite matrix|positibong tiyak]]'' ang isang parianyuin at ''n''×''n'' na baskagang '''A''' kung ang nauugnay na [[Quadratic form|dawaking anyo]]</span> 

<span id="quadratic_forms"><span data-segmentid="390" class="cx-segment">''f'' ('''x''') = '''x'''<sup>T</sup>'''Ax'''</span></span>

<span data-segmentid="391" class="cx-segment">ay may positibong halaga para sa bawat di-serong tuganong '''x''' sa '''R'''<sup>''n''</sup>. Kung ''f''('''x''') ay may mga negatibong halaga lamang, ''[[Positive-definite matrix#Negative definite|negatibong tiyak]]'' ang '''A'''; kung nagbubunga ang ''f'' ng mga negatibo't positibong halaga, ''[[Positive-definite matrix#Indefinite|di-tiyak]]'' ang '''A'''.<ref>{{Harvard citations|last1=Horn|last2=Johnson|year=1985|nb=yes|loc=Chapter 7}}</ref></span> <span data-segmentid="394" class="cx-segment">Kung nagbubunga ang dawaking anyong ''f'' ng mga di-negatibong halaga (positibo o sero) lamang, tinatawag ang parianyuing baskagan na ''positibong hatintiyak'' (o kung di-positibong halaga lamang, negatibong hatintiyak); samakatuwid di-tiyak ang baskagan kapag hindi ito positibong hatintiyak o negatibong hatintiyak.</span> 

<span data-segmentid="395" class="cx-segment">Positibong tiyak ang isang parianyuing baskagan kung at tanging kung positibo ang lahat ng mga eigenhalaga nito, samakatuwid,positibong hatintiyak ito at mababaligtad ito.<ref>{{Harvard citations|last1=Horn|last2=Johnson|year=1985|nb=yes|loc=Theorem 7.2.1}}</ref></span> <span data-segmentid="396" class="cx-segment">Nagpapakita ang talahanayan sa kanan ng dalawang posibilidad para sa baskagang 2-na-2.</span> 

<span data-segmentid="397" class="cx-segment">Kung payagan ang input ng dalawang magkakaibang tugano sa halip, magbubunga ng [[Bilinear form|anyong bilinyar]] na nauugnay sa '''A''':</span> 

<span data-segmentid="399" class="cx-segment">''B''<sub>'''A'''</sub>('''x''', '''y''') = '''x'''<sup>T</sup>'''Ay'''.<ref>{{Harvard citations|last1=Horn|last2=Johnson|year=1985|nb=yes|loc=Example 4.0.6, p. 169}}</ref></span>

==== <span data-segmentid="400" class="cx-segment">Baskagang ortogonal</span> ====
<span data-segmentid="401" class="cx-segment">Ang ''baskagang ortogonal'' ay isang [[Matrix (mathematics)#Square matrices|baskagang parisukat]] na may [[Tunay na bilang|tunay]] na mga talaan na may [[Ortogonalidad|ortogonal]] na [[Unit vector|tuganong yunit]] (iyon ay, tuganong [[Orthonormality|ortonormal]]) bilang mga tudling at hilera.</span> <span data-segmentid="407" class="cx-segment">Katumbas nito, ortogonal ang isang baskagang '''A''' kung ang [[Transpose|lipat]] nito ay katumbas ng [[Invertible matrix|kabaligtaran]] nito:</span> 

<span data-segmentid="410" class="cx-segment"><math>\mathbf{A}^\mathrm{T}=\mathbf{A}^{-1}, \,</math></span>

<span data-segmentid="411" class="cx-segment">na nangangahulugang</span> 

<span data-segmentid="412" class="cx-segment"><math>\mathbf{A}^\mathrm{T} \mathbf{A} = \mathbf{A} \mathbf{A}^\mathrm{T} = \mathbf{I}_n, </math></span>

<span data-segmentid="413" class="cx-segment">kung saan '''I'''<sub>''n''</sub> ang [[Identity matrix|kasiyangyaang baskagan]] ng laking ''n''.</span> 

<span data-segmentid="415" class="cx-segment">Ang baskagang ortogonal '''A''' ay kinakailangang [[Invertible matrix|mababaligtad]] (na may kabaligtarang {{Nowrap|1='''A'''<sup>&minus;1</sup> = '''A'''<sup>T</sup>}}), [[Unitary matrix|nagkakaisa]] ({{Nowrap|1='''A'''<sup>&minus;1</sup> = '''A'''*}}), at [[Normal matrix|normal]] ({{Nowrap|1='''A'''*'''A''' = '''AA'''*}}).</span> <span data-segmentid="419" class="cx-segment">{{math|+1}} o {{math|−1}} ang [[Determinant|taliyak]] ng anumang baskagang ortogonal.</span> <span data-segmentid="421" class="cx-segment">Ang ''espesyal na baskagang ortogonal'' ay isang baskagang ortogonal na may [[Determinant|taliyak]] +1.</span> <span data-segmentid="423" class="cx-segment">Bilang [[Linear transformation|transpormasyong linyar]], ang bawat baskagang ortogonal na may taliyak {{math|+1}} ay isang purong [[Rotation (mathematics)|pag-ikot]] nang walang sabalik, ibig sabihin, napapanatili ng transpormasyon ang pag-aangkop ng ibinagong istraktura, samantalang ang bawat baskagang ortogonal na may taliyak {{math|-1}} ay nagpapabaligtad sa pag-aangkop, ibig sabihin, isang pagbubuo ng purong [[Reflection (mathematics)|sabalik]] at isang pag-ikot (posibleng wala).</span> <span data-segmentid="427" class="cx-segment">Ang kasiyangyaang baskagan ay may taliyak {{math|1}}, at mga purong pag-ikot ng isang anggulo sero.</span> 

<span data-segmentid="428" class="cx-segment">[[Unitary matrix|Baskagang nagkakaisa]] ang [[Masalimuot na bilang|masalimuot]] na analog ng baskagang ortogonal.</span>

=== Pangunahing sakilos ===

==== Bakas ====
Ang [[Trace of a matrix|bakas]], tr('''A''') ng baksagang parisukat na '''A''' ay ang kabuaan ng kanyang hilising talaan. Habang hindi komutatibo ang pagpaparami ng baskagan tulad ng binanggit [[Baskagan (matematika)#hindi komutatibo|sa itaas]], independyente ang bakas ng produkto ng dalawang baskagan sa pagkaayos ng mga kabuo:

: tr('''AB''') = tr('''BA''').

Nanggagaling ito mula sa kahulugan ng pagpaparami ng baskagan:

: <math>\operatorname{tr}(\mathbf{AB}) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{ji} = \operatorname{tr}(\mathbf{BA}).</math>

Sumusunod na independyente ang bakas ng produkto ng higit sa dalawang baskagan mula sa [[Cyclic permutation|salkuping pamalitan]] ng mga baskagan, ngunit karaniwang hindi ito nangyayari sa mga alitakdaing pamalitan (halimbawa, tr('''ABC''') ≠ tr('''BAC'''), sa heneral). Bilang karagdagan, magkatumbas ang bakas ng baskagan sa kanyang lipat, kung saan,

: {{nowrap begin}}tr('''A''') = tr('''A'''<sup>T</sup>){{nowrap end}}.[[Talaksan:Determinant_example.svg|right|thumb|300x300px|Isang transpormasyong linyar sa '''R'''<sup>2</sup> na ibinigay ng ipinahiwatig na baskagan. −1 ang taliyak ng baskagang ito, dahil 1 ang sukat ng luntiang paralelogram sa kanan, ngunit binabaligtad ng mapa ang [[Orientation (mathematics)|satungo]], dahil ginagawang pakanan ang pakliwang satungo ng mga tugano. ]]

==== Taliyak ====
{{Main|Taliyak}}Ang ''taliyak'' det('''A''') or |'''A'''| ng baskagang parisukat na '''A''' ay isang bilang na nagtatala ng mga ibang tiyak na katangian ng baskagan. Mababaligtad lamang ang isang baskagan [[If and only if|kung at tanging kung]] hindi sero ang kanyang taliyak. Katumbas ang kanyang [[Absolute value|halagang wagas]] sa sukat (sa '''R'''<sup>2</sup>) o bolyum (sa '''R'''<sup>3</sup>) ng larawan ng yunit na parisukat (o kubo), habang tumutugma ang kanyang tanda sa satungo ng katumbas na mapang linyar: positibo lamang ang taliyak kung at tanging kung napreserba ang satungo.

Nakukuha ang taliyak ng 2-na-2 na baskagan sa

: <math>\det \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} = ad-bc.</math>

Nagsasangkot ang taliyak ng mga baskagang 3-na-3 ng 6 na takay ([[Rule of Sarrus|panuntunan ni Sarrus]]). Sa pamamagitan ng mas mahabang [[Leibniz formula for determinants|pormulang Leibniz]], magagamit ang dalawang pormula sa lahat ng dimensyon.<ref>{{Harvard citations|last1=Brown|year=1991|nb=yes|loc=Definition III.2.1}}</ref>

Magkatumbas ang taliyak ng produkto ng baskagang parisukat sa produkto ng kanilang taliyak:

: {{nowrap begin}}det('''AB''') = det('''A''') · det('''B''').<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Theorem III.2.12 }}</ref>{{nowrap end}}

== Talasanggunian ==

[[Kategorya:Pages with unreviewed translations]]